今回は平成30年度 機械科目 A問題6を解説します。遅れ力率で運転する同期発電機の負荷角δを、単位法のベクトル図から求める問題です。
ベクトル図を描いて \(E_0\) を三平方で求め、\(\sin\delta\) を作るのが定石です。
問題文と選択肢
出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「平成30年度 第三種電気主任技術者試験」機械科目 A問題6
定格容量 P [kV・A]，定格電圧 V [V]の星形結線の三相同期発電機がある。電機子電流が定格電流の40 %，負荷力率が遅れ86.6 %（cos30°＝0.866），定格電圧でこの発電機を運転している。このときのベクトル図を描いて，負荷角δの値[°]として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，この発電機の電機子巻線の1相当たりの同期リアクタンスは単位法で0.915 p.u.，1相当たりの抵抗は無視できるものとし，同期リアクタンスは磁気飽和等に影響されず一定であるとする。
(1) 0 (2) 15 (3) 30 (4) 45 (5) 60
出題のポイント：単位法だからこそ数値がそのまま使える
本問は定格容量 P も定格電圧 V も文字のままです。それでも答えが出るのは、すべてを単位法で扱えるから——具体的な数値がなくても比だけで決まる問題になっています。
| 量 | 単位法の値 | 根拠 |
| 端子電圧 V | 1.0 | 定格電圧で運転している |
| 電機子電流 I | 0.4 | 定格電流の40 % |
| 同期リアクタンス xs | 0.915 | 問題文で与えられている |
| 力率角 θ | 30°（遅れ） | cos θ＝0.866 |
この4つが決まれば、あとはベクトル図を描くだけです。単位法にしておけば √3 も出てこず、電圧の大小も1を基準に判断できます——本問が文字式のまま出題できているのは、この性質のおかげです。
ベクトルを成分に分解する
発電機なので \( \dot{E}=\dot{V}+jx_s\dot{I} \)。\( \dot{V} \) を実軸に取ると、遅れ力率なので \( \dot{I} \) は θ だけ下向き——\( \dot{I}=I(\cos\theta-j\sin\theta) \) です。
j を掛けて90°回す
j2＝−1 で実部が正になる
V に足す
遅れ力率だと、リアクタンス降下の一部が端子電圧と同じ向きに乗る（実部の xsI sin θ の項）——これが「遅れ力率では誘導起電力が大きくなる」ことの正体です。進み力率ならこの項が負になり、E は小さくなります。
数値を入れて負荷角を出す
単位法のリアクタンス降下
sin30°＝0.5
cos30°＝0.866
虚部÷実部
tan15°≒0.268
選択肢の作られ方を読む
⚠️ よくある間違い
(3) 30°は力率角θをそのまま答えたものです。問題文に「cos30°＝0.866」と書かれているので、30という数字が目に焼きつきます——そこを狙った肢です。
負荷角δは誘導起電力 E と端子電圧 V のなす角、力率角θは端子電圧 V と電流 I のなす角——基準は同じ V ですが、相手が違います。
☝️ ひっかけの作り方：(1) 0°は無負荷なら負荷角は0という知識を逆手に取った肢です。本問は定格の40 %とはいえ負荷がかかっているので、δ が0になることはありません。「電流が流れている＝負荷角がある」という対応を押さえておきましょう。
電流が定格の40 %と小さめなので、負荷角も15°と小さな値に収まっています。もし定格電流（1.0 p.u.）で同じ力率なら、tanδ＝0.792/1.458＝0.543 → δ≒28°——負荷が重くなるほど δ が大きくなるという関係も確かめられます。
誘導起電力の大きさも出しておく
実部と虚部から
それぞれ2乗して足す
定格電圧の1.22倍
この状態で負荷を切ると、端子電圧は定格の1.22倍まで上がります——電圧変動率にすると22 %です。負荷が定格の40 %しかないのに、これだけの変動がある——同期発電機の電圧変動の大きさが、ここでも確認できます。
⏱️ 本番での進め方
① すべて単位法にそろえる。V＝1.0、I＝0.4、xs＝0.915。
② xsI＝0.366 を先に出す。
③ tanδ＝(xsI cosθ)/(V+xsI sinθ)＝0.317/1.183≒0.268。
④ tan15°≒0.27、tan30°≒0.58。値で見分けられる。
💡 覚え方
「遅れ力率は分母に足す、進み力率は分母から引く」——遅れなら E が大きくなり δ は小さめ、進みなら E が小さくなり δ は大きめ。符号の向きさえ間違えなければ、あとは三角比の計算だけです。
力率が変われば、負荷角はどう動くか
本問は遅れ86.6 %でしたが、力率が変わると負荷角はどちらに動くのでしょうか。同じ電流0.4 p.u. のまま、力率だけを変えて比べてみます。
| 力率 | 分母（実部） | 分子（虚部） | 負荷角 δ | 誘導起電力 E |
| 遅れ86.6 %（本問） | 1＋0.183＝1.183 | 0.317 | 15.0° | 1.22 p.u. |
| 1.0 | 1＋0＝1.000 | 0.366 | 20.1° | 1.06 p.u. |
| 進み86.6 % | 1−0.183＝0.817 | 0.317 | 21.2° | 0.88 p.u. |
遅れ力率のほうが負荷角は小さく、誘導起電力は大きい——進み力率ではその逆になります。同じ有効電力を送っていても、力率で運転点がこれだけ変わるのです。
理由は電機子反作用です。遅れ電流は減磁作用を持つので、同じ端子電圧を保つには強い界磁——つまり大きな E が要ります。進み電流は増磁作用なので、弱い界磁で足りる——表の E の列が、そのまま励磁の強さを表しています。
負荷角が小さいほど安定度の余裕は大きいので、遅れ力率のほうが同期を保つ力は強いことになります。ただし E が大きいということは界磁銅損も大きいということ——ここにも損得の両面があります。
系統の負荷はほとんどが遅れ力率（誘導電動機が多いため）ですから、発電機は日常的にこの表の1行目の状態で運転しています。本問の設定が「遅れ86.6 %」なのは、現実的な運転条件を選んでいるからなのです。
まとめ
| 条件 | \(V=1,\ I=0.4,\ x_s=0.915\,\mathrm{p.u.},\ \cos\theta=0.866\) |
| 誘導起電力 | \(E_0=\sqrt{1.183^2+0.317^2}\fallingdotseq1.225\,\mathrm{p.u.}\) |
| 負荷角 | \(\sin\delta=0.317/1.225\fallingdotseq0.259\Rightarrow\delta\fallingdotseq15^\circ\) |
| 答え | (2) |
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