同期機16【電験3種 機械】遅れ力率の負荷角δをベクトル図で求める！平成30年 A問題6 完全解説

今回は平成30年度 機械科目 A問題6を解説します。遅れ力率で運転する同期発電機の負荷角δを、単位法のベクトル図から求める問題です。

ベクトル図を描いて \(E_0\) を三平方で求め、\(\sin\delta\) を作るのが定石です。

問題文と選択肢

　定格容量 P [kV・A]，定格電圧 V [V]の星形結線の三相同期発電機がある。電機子電流が定格電流の40 %，負荷力率が遅れ86.6 %（cos30°＝0.866），定格電圧でこの発電機を運転している。このときのベクトル図を描いて，負荷角δの値[°]として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，この発電機の電機子巻線の1相当たりの同期リアクタンスは単位法で0.915 p.u.，1相当たりの抵抗は無視できるものとし，同期リアクタンスは磁気飽和等に影響されず一定であるとする。

(1)　0　(2)　15　(3)　30　(4)　45　(5)　60

出題のポイント：遅れ電流を90°進めて内部起電力の成分を作る

遅れ力率では電流Iは端子電圧Vよりθだけ遅れ、jxsIはIから90°進みます。したがって発電機のE0＝V＋jxsIでは、jxsIの水平成分がxsI sinθ、垂直成分がxsI cosθです。実部と虚部からE0の大きさを求め、sinδまたはtanδで負荷角を計算します。

ポイント解説：実部はV＋xsI sinθ、虚部はxsI cosθ

遅れ力率では電流 \(\dot I\) が端子電圧 \(\dot V\) より \(\theta\) 遅れます。誘導起電力 \(\dot E_0=\dot V+jx_s\dot I\) をベクトルで合成し、実部と虚部に分けて大きさ \(E_0\) を求めます。負荷角 \(\delta\) は \(\dot E_0\) が \(\dot V\) から進む角です。

$$E_0^2=(V+x_sI\sin\theta)^2+(x_sI\cos\theta)^2,\qquad \sin\delta=\frac{x_sI\cos\theta}{E_0}$$

問題の解説：E0＝1.225 p.u.から負荷角15°を求める

STEP1　単位法で各量を置く

定格電圧・電流を基準に \(V=1\)、\(I=0.4\)、\(x_s=0.915\) p.u.。遅れ力率86.6 %なので \(\cos\theta=0.866\)、\(\sin\theta=0.5\)（\(\theta=30^\circ\)）。

STEP2　誘導起電力 E0 の大きさを求める

$$E_0^2=(1+0.915\times0.4\times0.5)^2+(0.915\times0.4\times0.866)^2$$

$$=1.183^2+0.317^2\fallingdotseq1.500\ \Rightarrow\ E_0\fallingdotseq1.225\ \mathrm{p.u.}$$

STEP3　sinδ から負荷角を求める

$$\sin\delta=\frac{x_sI\cos\theta}{E_0}=\frac{0.915\times0.4\times0.866}{1.225}\fallingdotseq0.259$$

\(\sin15^\circ\fallingdotseq0.259\) なので、負荷角は \(\delta\fallingdotseq15^\circ\) です。

答え：(2)

まとめ

条件	\(V=1,\ I=0.4,\ x_s=0.915\,\mathrm{p.u.},\ \cos\theta=0.866\)
誘導起電力	\(E_0=\sqrt{1.183^2+0.317^2}\fallingdotseq1.225\,\mathrm{p.u.}\)
負荷角	\(\sin\delta=0.317/1.225\fallingdotseq0.259\Rightarrow\delta\fallingdotseq15^\circ\)
答え	(2)

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