同期機14【電験3種 機械】内部誘導起電力を求める！平成20年 A問題5 完全解説

今回は平成20年度 機械科目 A問題5を解説します。電機子抵抗と同期リアクタンスを考慮した内部誘導起電力を求める問題です。

誘導起電力の一般式 \(\dot{E}_0=\dot{V}+(r_a+jX_s)\dot{I}\) に素直に代入し、複素数の大きさを求めます。

問題文と選択肢

　定格容量3 300 kV・A，定格電圧6 600 V，星形結線の三相同期発電機がある。この発電機の電機子巻線の一相当たりの抵抗は0.15 Ω，同期リアクタンスは12.5 Ωである。この発電機を負荷力率100 %で定格運転したとき，一相当たりの内部誘導起電力[V]の値として，最も近いのは次のうちどれか。ただし，磁気飽和は無視できるものとする。

(1)　3 050　(2)　4 670　(3)　5 280　(4)　7 460　(5)　9 150

出題のポイント：抵抗降下とリアクタンス降下を複素数で合成する

力率100％では端子相電圧Vと電機子電流Iが同相なので、抵抗降下raIも実軸方向、同期リアクタンス降下jXsIは90°進んだ虚軸方向になります。したがって同期発電機の内部誘導起電力はE0＝V＋(ra＋jXs)Iとして複素数で加えます。定格容量Sから電流を求め、線間電圧を相電圧へ直してから、実部と虚部を三平方で合成します。

ポイント解説：内部誘導起電力を実部と虚部に分けて計算する

電機子抵抗 \(r_a\) を無視できない場合、誘導起電力（相電圧）は次式です。

$$\dot{E}_0=\dot{V}+(r_a+jX_s)\dot{I}$$

力率100 %なので \(\dot{I}\) は \(\dot{V}\) と同相。相電圧 \(V=6\,600/\sqrt{3}\) V を基準にとります。

問題の解説：実部3853.8 Vと虚部3608.8 Vから5280 Vを求める

STEP1　定格電流を求める

$$I_n=\frac{S}{\sqrt{3}V}=\frac{3\,300\times10^3}{\sqrt{3}\times6\,600}\fallingdotseq288.7\ [\mathrm{A}]$$

STEP2　誘導起電力を複素数で計算する

相電圧 \(\dot{V}=6\,600/\sqrt{3}=3\,810.5\) V を基準にとると、

$$\dot{E}_0=\dot{V}+(r_a+jX_s)\dot{I}=3\,810.5+(0.15+j12.5)\times288.7$$

$$=3\,810.5+43.3+j3\,608.5=3\,853.8+j3\,608.5\ [\mathrm{V}]$$

STEP3　大きさを求める

$$E_0=\sqrt{3\,853.8^2+3\,608.5^2}\fallingdotseq5\,280\ [\mathrm{V}]$$

答え：(3)

まとめ

定格電流	\(I_n=P/(\sqrt{3}V)=288.7\,\mathrm{A}\)
誘導起電力	\(\dot{E}_0=3\,853.8+j3\,608.5\,\mathrm{V}\)
大きさ	\(E_0=\sqrt{3853.8^2+3608.5^2}\fallingdotseq5\,280\,\mathrm{V}\)
答え	(3)

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