今回は令和6年度上期 機械科目 B問題18を解説します。r進法で表された数の方程式からrの値を求める(a)と、8ビット固定長の絶対値表示方式・2の補数表示、そしてD-Aコンバータのオフセット・バイナリ・コードの出力電圧を求める(b)の2段構成の問題です。★情報28（平成22年度B問題18）と設問文・図・選択肢の数値がすべて同一で、実質的に同じ問題の再出題です。
(a)はr進法の位取り展開を10進の等式にしてrについての2次方程式を解きます。(b)は絶対値表示方式・2の補数表示それぞれの符号ビットの扱いと、D-Aコンバータの直線式Vd＝(分解能)×d－オフセットを使って計算します。
ほぼ同じ問題が 【機械】平成22年度B問題18 でも出題されています。出題パターンが固定なので、セットで解けば確実な得点源になります。
令和6年度上期 機械科目 B問題18：問題文と選択肢
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
電験3種 機械科目 【情報】 令和6年度上期 B問題18
数の表現法について，次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a) 10進法で表される正の整数Nは，10進法の2以上の整数rを用いて，次式のように表すことができる。N = anrn + an-1rn-1 + … + a1r + a0 ただし，aiは整数であり，0≦ai<r（i=0，1，…，n）である。このとき，Nをr進法で次のように表現することとする。(anan-1…a2a1a0)r この表現方法によって次の計算が成り立つとき，rの値として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。(122)r－(42)r=(40)r
(b) 8ビットの固定長で，正負のある2進法の数値を表現する場合，次のような①及び②で示す方式がある。また，D-Aコンバータにおいては次の③で示す方式が用いられる。①最上位ビット（左端のビット，以下MSBという）を符号ビットとして，残りのビットでその数の絶対値を表す方式は，絶対値表示方式と呼ばれる。この場合，MSB=0が正（+），MSB=1が負（-）と約束すると，10進数の-8は（ア）となる。②7ビット長で表された正の数nに対して，-nを8ビット長のnの2の補数で表す方式がある。この方式による場合，10進数の-8は（イ）となる。この方式においても，MSB=1は負の整数，MSB=0は正の整数を示すことになる。この方式は，2進数の減算に適している。③D-Aコンバータでは，ディジタル入力量とアナログ出力量が比例の関係にある。8ビットのD-Aコンバータではディジタル入力量として，(1000 0000)2を与えた場合に，0.0000Vが出力されるようにしたオフセット・バイナリ・コードを用いることが多い。この場合，出力電圧が正のときは，MSB=1となり，負のときは，MSB=0となる。ディジタル入力値が(0000 0000)2のときのアナログ出力値が-5.0000Vであるオフセット・バイナリ・コードのD-Aコンバータでは，ディジタル入力値が(0111 1000)2のときの出力電圧値は（ウ）Vとなる。
上記の記述中の空白箇所(ア)〜(ウ)に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
（1）5 （2）6 （3）7 （4）8 （5）9
（ア） （イ） （ウ） (1) (1000 1000)2 (1000 0111)2 -0.2734 (2) (1111 1000)2 (1000 1000)2 -0.3125 (3) (1111 1000)2 (1000 0111)2 -0.3125 (4) (1000 1000)2 (1111 1000)2 -0.3125 (5) (1000 1000)2 (1111 1000)2 -0.2734
出題のポイント：r進法・符号表現・D-A変換を切り分ける
複合問題ですが、(a)はr進法の位取り展開、(b)前半は絶対値表示と2の補数、後半はオフセット・バイナリの直線式という三つの独立した処理です。方式を混ぜず、各段階の基準点とビットの役割を確認します。
ポイント解説：位取り展開と3種類の2進コード
(a)のr進法の方程式は、各桁を位取り展開して10進の等式に直すと、rについての2次方程式になります。因数分解できる形に整理するのがコツです。
(b)は絶対値表示方式・2の補数表示という2つの符号表現方式と、D-Aコンバータのオフセット・バイナリ・コードの直線式Vd＝（分解能）×（d－中心値）を扱います。★本問は情報28（平成22年度B問題18）と実質的に同一の問題です。
問題の解説：r=6と8ビット表現を順に求める
STEP1 (a) r進法の方程式を10進の等式に展開する
$$(122)_r-(42)_r=(40)_r$$
各項を展開すると，$$(r^2+2r+2)-(4r+2)=4r$$
STEP2 (a) rの2次方程式を解く
$$r^2+2r+2-4r-2=4r\Rightarrow r^2-6r=0\Rightarrow r(r-6)=0$$
rは2以上の整数なので，r=6。これは選択肢(2)です。
STEP3 (b)① 絶対値表示方式で-8を表す
10進数8を2進数にすると(0000 1000)2。MSBを負の符号ビット1に置き換えると，
$$(1000\ 1000)_2$$
STEP4 (b)② 2の補数表示で-8を表す
7ビット表現の8=(0001000)を反転し1を加える2の補数操作を8ビットで行うと，
$$(1111\ 1000)_2$$
STEP5 (b)③ D-Aコンバータの直線式でVdを求める
(0000 0000)2=0で-5.0000V，(1000 0000)2=128で0Vとなる直線式は，
$$V_d=\frac{5}{128}d-5$$
d=(0111 1000)2=120を代入すると，$$V_d=\frac{5}{128}\times120-5=-0.3125\ \text{V}$$
以上より（ア）(1000 1000)2（イ）(1111 1000)2（ウ）-0.3125の組合せである(4)が(b)の正解です。
答え：(a)-(2)，(b)-(4)
💡 覚え方
r進法の方程式は位取り展開して10進の等式にすればrの多項式方程式になる。D-Aコンバータのオフセット・バイナリ・コードは直線式Vd=(分解能)×d-（オフセット）で計算する。
⚠️ よくある間違い
絶対値表示方式と2の補数表示の符号ビットの扱いを混同しない。D-Aコンバータの直線式で分解能の係数（本問では5/128）を求め忘れない。
まとめ
| (a) rの方程式 | r²-6r=0 |
| (a) 答え | r=6 |
| (b)(ア) 絶対値表示 | (1000 1000)2 |
| (b)(イ) 2の補数 | (1111 1000)2 |
| (b)(ウ) Vd | -0.3125V |
| 答え | (a)-(2)，(b)-(4) |
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