情報10【電験3種 機械】NANDゲートのみで構成した全加算器の真理値表！令和4年度上期 B問題18 完全解説

今回は令和4年度上期 機械科目 B問題18を解説します。NANDゲートのみで構成された論理回路（図1）の真理値表を求める(a)と、図1のブロックを2組接続して全加算器を構成したとき（図2）の出力S2，C2を求める(b)の2部構成問題です。

(a)は中間ノードD，E，Fを割り付けて段階的に論理式を求め、S1が排他的論理和（EX-OR）、C1が論理積（AND）になることを確認します。(b)は(a)の結果を使って図2の全加算器としての出力を真理値表にまとめ、選択肢と照合します。

令和4年度上期 機械科目 B問題18：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【情報】 令和4年度上期 B問題18

　以下の論理回路について，次の(a)及び(b)の問に答えよ。(a) 図1に示す論理回路の真理値表として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

　(b) 図1に示す論理回路を2組用いて図2に示すように接続して構成したとき，A，B及びC0の入力に対する出力S2及びC2の記述として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

	A,B	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
00	S1=0,C1=0	S1=0,C1=1	S1=0,C1=0	S1=0,C1=1	S1=0,C1=0
01	0,0	0,0	1,0	0,0	1,0
10	0,0	0,0	0,0	1,0	1,0
11	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1

（1）A=0,B=0,C0=0を入力したときの出力は，S2=0,C2=1である。
（2）A=0,B=1,C0=0を入力したときの出力は，S2=1,C2=0である。
（3）A=1,B=0,C0=0を入力したときの出力は，S2=0,C2=1である。
（4）A=1,B=0,C0=1を入力したときの出力は，S2=1,C2=0である。
（5）A=1,B=1,C0=1を入力したときの出力は，S2=0,C2=1である。

出題のポイント：半加算器2組から全加算器を作る

図1は、NANDだけでS1=A⊕BとC1=A・Bを作る半加算器です。図2では1組目の和S1と桁上げ入力C0を2組目へ入れ、二つの桁上げC1とT2をORして最終桁上げC2を得ます。

ポイント解説：NANDの中間ノードを順に追う

図1はNANDゲートのみで構成された回路で、実は半加算器（S1=和，C1=桁上げ）として動作します。中間ノードD，E，Fを設定して段階的に式を求めると、S1が排他的論理和、C1が論理積になることが分かります。

図2はこの半加算器ブロックを2組直列に接続して全加算器を構成したものです。1組目の出力（S1，C1）を使い、2組目の入力にC0（下位桁からの桁上げ）を加えることで、3入力の和と桁上げを実現します。

問題の解説：半加算器と全加算器の真理値表を照合する

STEP1　(a) 中間ノードD，E，Fを設定する

D=AとBのNAND出力，E=AとDのNAND出力，F=BとDのNAND出力，S1=EとFのNAND出力，C1=DとDのNAND出力。

STEP2　(a) S1を求める

$$S_1=\overline{EF}=\bar E+\bar F=AD+BD=A\bar B+\bar AB$$（排他的論理和）

この式を満たす真理値表は選択肢(5)のみです。

STEP3　(a) C1を求めて選択肢を絞る

$$C_1=\overline{D\cdot D}=\bar D=AB$$（論理積）

S1・C1の両方を満たすのは(5)と確定します。

STEP4　(b) 図2の全体真理値表を作って選択肢を検証する

(a)の結果を用いてA,B,C0,S1,C1,T2,S2,C2の8列表を作成し、各選択肢のA,B,C0の組合せを代入して照合します。

A=0,B=1,C0=0のとき：S1=1,C1=0→S2=1,C2=0となり、選択肢(2)の記述と一致します。他の選択肢はいずれも計算結果と不一致です。

答え：(a)-(5)，(b)-(2)

まとめ

S1	A⊕B（排他的論理和）
C1	A・B
(a)の答え	(5)
(b)の答え	(2)

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