変圧器16【電験3種 機械】変圧器の最大効率とは？平成29年 A問題8 完全解説

電験3種（第三種電気主任技術者試験）の機械科目において、「変圧器の最大効率」は最頻出の計算パターンです。本記事では、平成29年度 A問題8を、はじめての方でも確実に解けるように丁寧に解説します。

覚えることは一つだけ。「効率が最大になるのは銅損＝鉄損のとき」。銅損は負荷率の2乗に比例するので、\( a^2 \times 1000 = 250 \) から負荷率 \( a=1/2 \) が出て、あとは効率の定義式に入れるだけです。

平成29年度 機械科目 A問題8：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【変圧器】 平成29年度 A問題8

定格容量 50 kV・A の単相変圧器において、力率 1 の負荷で全負荷運転したときに、銅損が 1 000 W、鉄損が 250 W となった。力率 1 を維持したまま負荷を調整し、最大効率となる条件で運転した。銅損と鉄損以外の損失は無視できるものとし、この最大効率となる条件での効率の値 [%] として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

(1) 95.2　　(2) 96.0　　(3) 97.6　　(4) 98.0　　(5) 99.0

出題のポイント：銅損と鉄損が等しい負荷率を求める

鉄損250 Wは負荷率によらず一定で、銅損は全負荷銅損1,000 Wの \(a^2\) 倍です。最大効率条件 \(a^2P_{c0}=P_i\) から負荷率は0.5となります。このとき出力は25 kW、銅損と鉄損は各250 Wです。

ポイント解説：固定損と可変損の交点が最大効率点

鉄損は負荷によらず一定（固定損）、銅損は負荷率の2乗で増える（可変損）。負荷を上げると出力は増えるが銅損も急増する——両者がちょうど釣り合う点で「出力あたりの損失」が最小になります。

問題の解説：負荷率0.5で最大効率98.0 %

ステップ1：最大効率の条件から負荷率を求める

銅損は負荷率 \( a \) の2乗に比例するので、最大効率条件 \( P_c = P_i \) は、

$$a^2 \times 1000 = 250 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{\frac{250}{1000}} = \frac{1}{2}$$

ステップ2：このときの出力と損失を求める

力率1なので出力は \( P = 50 \times 10^3 \times \dfrac{1}{2} = 25000 \) W。損失は銅損＝鉄損＝250 W ずつで合計 500 W。

ステップ3：効率を計算する

$$\eta = \frac{25000}{25000 + 250 + 250} \times 100 = \frac{25000}{25500} \times 100 \approx 98.0 \text{ [%]}$$

したがって、正解は (4) 98.0 % です。

計算結果の妥当性チェック

全負荷時の効率は \( 50000/(50000+1000+250) \approx 97.6 \) %（選択肢(3)）。最大効率はこれより高くなるはずで、98.0 %＞97.6 % ✓。「(3)は全負荷時の効率＝ワナ」と見抜けます。

ポイント解説：確実に得点するために

1. 負荷率の公式は √(鉄損/全負荷銅損)

最大効率の負荷率は \( a = \sqrt{P_i / P_{c0}} \)。導出（\( a^2 P_{c0} = P_i \)）ごと覚えれば公式忘れも怖くありません。

2. 出力も a 倍になるのを忘れない

効率計算で出力を 50 kW のままにすると誤答になります。負荷率 1/2 なら出力も 25 kW。「損失だけでなく出力も変わる」がこの問題の第2関門です。

3. 損失の分類とセットで理解

「鉄損＝無負荷損（一定）・銅損＝負荷損（2乗）」の分類は【機械】令和5年度下期A問題7で確認できます。分類が頭に入っていれば、この問題は公式当てはめだけです。

まとめ：最大効率の解法の流れ

手順	内容	今回の値
① 条件	銅損＝鉄損	a²×1000＝250
② 負荷率	\( a=\sqrt{P_i/P_{c0}} \)	1/2
③ 出力・損失	P＝aS、損失＝2Pi	25 kW／500 W
④ 効率	\( \eta = P/(P+2P_i) \)	≒98.0 % →(4)

最大効率パターンは数値違いで繰り返し出題されます。【機械】令和6年度下期A問題9・【機械】令和5年度上期A問題9で反復しましょう。