変圧器15【電験3種 機械科目】令和6年下期 A問題9 解説｜V-V結線の変圧器 負荷損計算

電験3種（第三種電気主任技術者試験）の機械科目において、「変圧器」は頻出かつ重要なテーマです。今回は、令和6年（2024年）下期 A問題9を題材に、V-V結線における変圧器の負荷損計算について詳しく解説します。

単相変圧器2台を用いたV-V結線の仕組みや、三相負荷をかけた際の各変圧器の負荷率の求め方、そして負荷損が電流の2乗に比例するという重要な公式の使い方まで、ステップ・バイ・ステップで丁寧に紐解いていきます。

令和6年下期 機械科目 A問題9：問題文と選択肢

まずは、実際に出題された問題を確認してみましょう。

問題文

定格容量 \( 100 \text{ kV}\cdot\text{A} \)、定格一次電圧 \( 6.3 \text{ kV} \) で特性の等しい単相変圧器が2台あり、各変圧器の定格負荷時の負荷損は \( 1{,}600 \text{ W} \) である。この変圧器2台をV-V結線し、一次電圧 \( 6.3 \text{ kV} \) にて \( 90 \text{ kW} \) の三相平衡負荷をかけたとき、2台の変圧器の負荷損の合計値 \( [\text{W}] \) として、最も近いものを次の①～⑤のうちから一つ選べ。

ただし、負荷の力率は1とする。

①	②	③	④	⑤
324	432	648	864	1 440

問題の解説と解答の導き方

この問題の正解は ④ 864 W です。どのようにしてこの解答を導き出すのか、順を追って解説します。

V-V結線とは？（基礎知識）

V-V結線とは、単相変圧器を2台使って三相電力を供給する結線方法です。通常、三相変圧には3台の単相変圧器（Δ結線やY結線）を使用しますが、そのうちの1台を省略した形（V字型）になります。Δ結線の1台を省略した形とも言えます。

V-V結線の利用率は次の式で表されます。

$$\text{利用率} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 86.6 \%$$

これは、2台の変圧器の容量の合計に対して、実際に三相として出力できる容量の割合を示しています。3台使うΔ結線と比べると効率は下がりますが、1台が故障した場合の応急措置としても活用されます。

V-V結線の回路構成

V-V結線の回路構成は以下のようになります。一次側（6.3 kV）の3本の線（A, B, C）から、2台の変圧器の一次巻線に接続されます。二次側では2台の変圧器の二次巻線から3本の線（a, b, c）が引き出され、三相負荷に接続されます。今回の問題では、三相平衡負荷 \( 90 \text{ kW} \)、力率 \( \cos\theta = 1 \) が接続されています。

【ステップ1】与えられた条件を整理する

問題文から、以下の条件を整理します。

項目	値
単相変圧器の定格容量	\( P_1 = 100 \text{ kV}\cdot\text{A} = 100{,}000 \text{ VA} \)
定格一次電圧	\( V_{1n} = 6.3 \text{ kV} = 6{,}300 \text{ V} \)
定格負荷損（1台あたり）	\( 1{,}600 \text{ W} \)
三相負荷	\( P_3 = 90 \text{ kW} = 90{,}000 \text{ W} \)
力率	\( \cos\theta = 1 \)

【ステップ2】定格一次電流を計算する

まず、変圧器1台あたりの定格一次電流 \( I_{1n} \) を求めます。定格容量 \( P_1 \) を定格一次電圧 \( V_{1n} \) で割ることで算出できます。

$$I_{1n} = \frac{P_1}{V_{1n}} = \frac{100{,}000}{6{,}300} \approx 15.87 \text{ A}$$

【ステップ3】V-V結線時の負荷電流を計算する

次に、\( 90 \text{ kW} \) の三相負荷をかけたときに、各変圧器に流れる電流 \( I_2 \) を求めます。三相電力の公式 \( P_3 = \sqrt{3} \times V_{1n} \times I_2 \times \cos\theta \) を用います（今回は力率1）。

$$I_2 = \frac{P_3}{\sqrt{3} \times V_{1n}} = \frac{90{,}000}{\sqrt{3} \times 6{,}300} = \frac{90{,}000}{1.732 \times 6{,}300} = \frac{90{,}000}{10{,}911} \approx 8.25 \text{ A}$$

【ステップ4】負荷率を計算する

負荷率 \( a \) は、実際に流れている電流 \( I_2 \) と定格電流 \( I_{1n} \) の比です。この値が計算の核心となります。

$$a = \frac{I_2}{I_{1n}} = \frac{8.25}{15.87} \approx 0.52 \text{（約52%）}$$

【ステップ5】各変圧器の負荷損を計算する

負荷損は電流の2乗に比例するという性質を利用して、現在の負荷状態での負荷損を計算します。

$$P_{\text{負荷損}} = P_{\text{定格負荷損}} \times \left( \frac{I_2}{I_{1n}} \right)^2$$

$$P_{\text{負荷損}} = 1{,}600 \times \left( \frac{8.25}{15.87} \right)^2 = 1{,}600 \times (0.52)^2 = 1{,}600 \times 0.27 = 432 \text{ W}$$

これにより、変圧器1台あたりの負荷損が \( 432 \text{ W} \) であることがわかりました。

【ステップ6】2台の合計を計算する

問題で求められているのは「2台の変圧器の負荷損の合計値」です。V-V結線では2台の変圧器が同じ電流を流すため、1台分の負荷損を2倍します。

$$\text{合計} = 432 \times 2 = 864 \text{ W}$$

したがって、正解は ④ 864 となります。

覚えておきたい！重要公式と理解のポイント

この問題を解く上で必須となる公式と、理解を深めるためのポイントをまとめました。

重要公式：負荷損の比例関係

変圧器の負荷損（銅損）は、流れる電流の2乗に比例します。これは変圧器の損失計算において最も基本的かつ重要な公式です。

$$\text{負荷損} \propto \text{電流}^2$$

$$P_{\text{負荷損}} = P_{\text{定格負荷損}} \times (a)^2 \quad \text{（a ＝ 負荷率）}$$

また、V-V結線に関する公式も確認しておきましょう。

公式	内容
V-V結線の容量	\( \sqrt{3} \times V \times I \)
V-V結線の利用率	\( \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 86.6\% \)
負荷損（任意の負荷率）	\( P_{\text{定格負荷損}} \times a^2 \)

理解のポイント：よくある誤りと注意事項

この問題を解く際に陥りやすいミスと、理解を深めるためのポイントを4点にまとめます。

① V-V結線の役割を正確に把握する
単相変圧器2台で三相負荷に対応できる結線方式です。3台使うΔ結線の1台を省略した形であることをイメージしましょう。

② 負荷損の特性を理解する
負荷損（主に銅損）は電流の2乗に比例して増加します。電流が半分になれば、負荷損は \( (1/2)^2 = 1/4 \) になるという二次関数的な変化を意識しましょう。

③ 負荷率の算出が鍵
各変圧器の負荷率 \( a = I_2 / I_{1n} \) を正確に求めることが、計算の核心です。定格電流の計算を丁寧に行いましょう。

④ 「2台分の合計」を忘れない
ステップ5で求めた432 Wは1台分の負荷損です。選択肢に「② 432」があるため、1台分で答えを出してしまう引っかけに注意してください。必ず2台分の合計（864 W）を計算しましょう。

まとめ：V-V結線の負荷損計算を攻略するための3ステップ

今回は、令和6年下期 機械科目 A問題9を通して、V-V結線の変圧器における負荷損の計算方法を解説しました。解法の流れを最後に整理します。

ステップ	内容	計算結果
1	定格一次電流を求める	\( I_{1n} \approx 15.87 \text{ A} \)
2	三相負荷時の電流を求める	\( I_2 \approx 8.25 \text{ A} \)
3	負荷率を求める	\( a \approx 0.52 \)
4	1台の負荷損を求める（\( a^2 \) 倍）	\( 432 \text{ W} \)
5	2台分の合計を求める	\( 864 \text{ W} \)

定格電流と実際の負荷電流から負荷率を求め、負荷損が負荷率（電流）の2乗に比例することを利用して計算し、最後に2台分の合計を算出する——この3つのポイントを確実にマスターすれば、類似問題にも自信を持って対応できるようになります。電験3種の機械科目では変圧器の効率・損失に関する問題が繰り返し出題されていますので、ぜひ過去問演習を通してしっかりと身につけておきましょう。