電験3種の機械科目で頻出の「変圧器」に関する問題です。令和5年（2023年）上期のA問題9について、変圧器の最大効率となる条件と効率の計算方法を、手順を追って丁寧に解説します。「銅損と鉄損の関係がよくわからない」「最大効率の計算方法をマスターしたい」という方は、ぜひ参考にしてください。
問題文と選択肢（令和5年上期 機械科目 A問題9）
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
定格容量 \( 50\ \mathrm{kV\cdot A} \) の単相変圧器において、力率1の負荷で全負荷運転したときに、銅損が \( 1{,}000\ \mathrm{W} \)、鉄損が \( 250\ \mathrm{W} \) となった。力率1を維持したまま負荷を調整し、最大効率となる条件で運転した。銅損と鉄損以外の損失は無視できるものとし、この最大効率となる条件での効率の値[%]として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
(1) 95.2 (2) 96.0 (3) 97.6 (4) 98.0 (5) 99.0
変圧器の効率と最大効率の条件（重要ポイント）
問題を解く前に、変圧器の効率計算において必ず押さえておくべき重要な概念を確認します。変圧器の損失には、負荷電流の大きさによって変化する銅損と、負荷に関わらずほぼ一定の鉄損の2種類があります。
変圧器の効率の一般式
変圧器の効率 \( \eta \) は、以下の式で表されます。
$$ \eta = \frac{P}{P + P_c + P_i} \times 100\ [\%] $$
各記号の意味は次の通りです。
| 記号 | 意味 | 特徴 |
|---|---|---|
| \( P \) | 出力 [W] | 負荷に応じて変化 |
| \( P_c \) | 銅損 [W] | 負荷率の2乗に比例して変化 |
| \( P_i \) | 鉄損 [W] | 負荷によらずほぼ一定 |
変圧器が最大効率となる条件：銅損＝鉄損
変圧器の効率が最大となるのは、「銅損と鉄損が等しいとき」です。これは電験3種の機械科目で非常によく問われる超重要ポイントです。
$$ P_c = P_i $$
この条件が成り立つときに効率の式の分母が最小となり、効率が最大になります。直感的には、「可変損失（銅損）と固定損失（鉄損）が釣り合ったとき」に最も効率よく電力を変換できると理解してください。
令和5年上期 A問題9の解答と解説（ステップ別）
それでは、先ほどの重要ポイントを踏まえて、問題を3つのステップで解いていきましょう。
ステップ1：最大効率となる条件を確認する
変圧器の効率が最大となるのは、銅損と鉄損が等しくなる条件です。
$$ P_c = P_i $$
ステップ2：最大効率となる負荷率を計算する
問題文より、全負荷時（負荷率 \( a = 1 \)）の各損失は以下の通りです。
- 全負荷時の銅損：\( P_{c0} = 1{,}000\ \mathrm{W} \)
- 鉄損（一定）：\( P_i = 250\ \mathrm{W} \)
銅損は負荷率 \( a \) の2乗に比例するため、負荷率 \( a \) のときの銅損は \( P_c = a^2 P_{c0} \) と表せます。最大効率条件 \( P_c = P_i \) に代入すると、次の方程式が成り立ちます。
$$ a^2 \times 1{,}000 = 250 $$
これを解くと、
$$ a^2 = \frac{250}{1{,}000} = \frac{1}{4} $$
$$ a = \frac{1}{2} $$
したがって、負荷率が \( \frac{1}{2} \)（50%）のときに最大効率となることがわかりました。
ステップ3：最大効率時の効率を計算する
求めた負荷率 \( a = \frac{1}{2} \) を用いて、出力・損失・効率を順番に計算します。
定格容量 \( P_n = 50\ \mathrm{kV\cdot A} = 50{,}000\ \mathrm{VA} \)、力率 \( \cos\theta = 1 \) より、
【出力 \( P \)】
$$ P = a \times P_n \times \cos\theta = \frac{1}{2} \times 50{,}000 \times 1 = 25{,}000\ \mathrm{W} $$
【銅損 \( P_c \)】（最大効率時は鉄損と等しい）
$$ P_c = a^2 \times P_{c0} = \frac{1}{4} \times 1{,}000 = 250\ \mathrm{W} $$
【鉄損 \( P_i \)】（負荷によらず一定）
$$ P_i = 250\ \mathrm{W} $$
【全損失】
$$ P_c + P_i = 250 + 250 = 500\ \mathrm{W} $$
【効率 \( \eta \)】
$$ \eta = \frac{P}{P + P_c + P_i} \times 100 = \frac{25{,}000}{25{,}000 + 500} \times 100 = \frac{25{,}000}{25{,}500} \times 100 \approx 98.0\ [\%] $$
したがって、正解は (4) 98.0 となります。
| 項目 | 値 |
|---|---|
| 負荷率 \( a \) | \( \frac{1}{2} \)（50%） |
| 出力 \( P \) | 25,000 W |
| 銅損 \( P_c \) | 250 W |
| 鉄損 \( P_i \) | 250 W |
| 全損失 | 500 W |
| 効率 \( \eta \) | 約 98.0 % |
まとめ：変圧器の最大効率問題を解くための3つのポイント
今回の問題を解く上での重要ポイントを3つにまとめます。
- 変圧器の最大効率は「銅損＝鉄損」のとき達成される。この条件を最初に確認することが解法の出発点です。
- 銅損は負荷率の2乗に比例する（\( P_c = a^2 P_{c0} \)）。全負荷時の銅損と鉄損が与えられれば、最大効率となる負荷率を逆算できます。
- 鉄損は負荷が変わっても一定。電源電圧が一定であれば、鉄損は常に同じ値を使います。
この3つの法則を確実に覚えておけば、同様の問題が出題されても確実に対応できます。電験3種の機械科目では変圧器の効率に関する問題が繰り返し出題されていますので、過去問演習を通じてしっかりと身につけておきましょう。
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