情報7【電験3種 機械】NAND・OR混成の論理回路から真理値表を求める！平成23年度 A問題14 完全解説

今回は平成23年度 機械科目 A問題14を解説します。入力信号A，B及びC、出力信号ZのNANDゲートとORゲートが混在した論理回路について、正しい真理値表を選ぶ問題です。

回路の中間ノードにD，E，Fと文字を割り付けて段階的に論理式を求めるのがコツです。最終的にZ=A・B・C+Ā・B̄・C+A・B̄・C̄+Ā・B・C̄という形に整理できます。

平成23年度 機械科目 A問題14：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【情報】 平成23年度 A問題14

　図のように，入力信号A，B及びC，出力信号Zの論理回路がある。この論理回路の真理値表として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

	A,B,C	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
000	0	1	1	1	0
001	1	1	1	0	0
010	1	0	1	1	1
011	0	0	0	1	1
100	1	1	1	0	0
101	0	0	0	1	1
110	0	1	1	1	0
111	1	0	0	1	1

出題のポイント：左から中間ノードを定義する

左側のNAND・OR回路からD=AB+ĀB̄を得た後、右側をE=D+C、F=(DC)̄=D̄+C̄と置きます。最終NANDの出力はZ=(EF)̄です。NANDは積全体を反転するため、反転記号の範囲を中間ノードごとに確認します。

ポイント解説：XNORを2段の真理値表で追う

複雑な論理回路を解くコツは、中間ノードにD，E，Fのような文字を割り付けて、段階的に論理式を求めていくことです。いきなり全体の式を立てようとすると混乱しがちです。

最終的な出力Zを求めたら、Z=1となる(A,B,C)の組合せを特定し、それに合致する真理値表を選択肢から選びます。

問題の解説：8通りを真理値表で照合

STEP1　中間ノードD，E，Fを設定する

AとBのNAND出力の否定処理を経て、$$D=AB+\bar A\bar B$$

$$E=D+C,\quad F=\overline{D\cdot C}=\bar D+\bar C$$

STEP2　E・Fを求めて出力Zを計算する

$$E\cdot F=(D+C)(\bar D+\bar C)=C\bar D+\bar CD$$

$$Z=\overline{E\cdot F}=\overline{C\bar D+\bar CD}=(\bar C+D)(C+\bar D)=CD+\bar C\bar D$$

STEP3　Dを展開してZを完成させる

$$\bar D=A\bar B+\bar AB$$（Dの否定を展開）

$$Z=C(AB+\bar A\bar B)+\bar C(A\bar B+\bar AB)=ABC+\bar A\bar BC+A\bar B\bar C+\bar AB\bar C$$

STEP4　Z=1となる組合せを真理値表と照合する

(A,B,C)=(1,1,1),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)のときZ=1となるので、この4パターンで1が立つ真理値表(1)が正解です。

答え：(1)

まとめ

D	A・B+Ā・B̄
E	D+C
F	(D・C)̄=D̄+C̄
Z=1の組合せ	111,001,100,010
答え	(1)

▼あわせて解きたい関連問題
・4AND-OR・3NAND-NANDの論理回路で出力X，Yを求める：【機械】平成24年度A問題14
・EX-OR・EX-NOR混成回路の真理値表を求める：【機械】平成30年度A問題14