パワエレ12【電験3種 機械】IGBT単相ブリッジ電圧形インバータの過渡電流とピーク値Ip！平成21年 B問題16 完全解説

今回は平成21年度 機械科目 B問題16を解説します。単相ブリッジ接続の電圧形インバータについて、ゲート切替直後に電流が流れるバルブデバイス(a)と、RL回路の過渡式からピーク電流I_pを求める計算(b)を扱う問題です。

t=T/2直前はQ1,Q2が通電中。切替直後は負荷のインダクタンスが電流を同方向に保とうとするため、Q3,Q4は逆方向で導通できず還流ダイオードD3,D4を経由します。I_pは周期条件の式 i_a(T/2)=I_p から求めます。

平成21年度 機械科目 B問題16：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【パワーエレクトロニクス】 平成21年度 B問題16

　図1は，IGBTを用いた単相ブリッジ接続の電圧形インバータを示す。直流電圧 E_d〔V〕は，一定値と見なせる。出力端子には，インダクタンス L〔H〕で抵抗値 R〔Ω〕の誘導性負荷が接続されている。

　図2は，このインバータの動作波形である。時刻 t＝0〔s〕でIGBT Q₃及びQ₄のゲート信号をオフにするとともにQ₁及びQ₂のゲート信号をオンにすると，出力電圧 v_a〔V〕は E_d〔V〕となる。t＝T/2〔s〕でQ₁及びQ₂のゲート信号をオフにするとともにQ₃及びQ₄のゲート信号をオンにすると，v_a〔V〕は −E_d〔V〕となる。これを周期 T〔s〕で繰り返して方形波電圧を出力する。

　出力電流 i_a〔A〕は，t＝0〔s〕で −I_p〔A〕になっているものとする。負荷の時定数は τ＝L/R〔s〕である。t＝0〜T/2〔s〕では，時間の関数 i_a(t) は次式となる。

i_a(t) ＝ −I_pe^−t/τ ＋ (E_d/R)(1−e^−t/τ)

　定常的に動作しているときには，周期条件から t＝T/2〔s〕で出力電流は I_p〔A〕となり，次式が成り立つ。

i_a(T/2) ＝ −I_pe^−T/2τ ＋ (E_d/R)(1−e^−T/2τ) ＝ I_p

　このとき，次の(a)及び(b)に答えよ。ただし，バルブデバイス（IGBT及びダイオード）での電圧降下は無視するものとする。

（a）時刻 t＝T/2〔s〕の直前ではQ₁及びQ₂がオンしており，出力電流は直流電源からQ₁→負荷→Q₂の経路で流れている。t＝T/2〔s〕でIGBT Q₁及びQ₂のゲート信号をオフにするとともにQ₃及びQ₄のゲート信号をオンにした。その直後（図2で，t＝T/2〔s〕から，出力電流が0〔A〕になる t＝t_r〔s〕までの期間），出力電流が流れるバルブデバイスとして，正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

（1）Q1,Q2　（2）Q3,Q4　（3）D1,D2　（4）D3,D4　（5）Q3,Q4,D1,D2

（b）E_d＝200〔V〕，L＝10〔mH〕，R＝2.0〔Ω〕，T＝10〔ms〕としたとき，I_p〔A〕の値として，最も近いのは次のうちどれか。ただし，e＝2.718とする。

（1）32　（2）46　（3）63　（4）76　（5）92

出題のポイント：切替直後の導通素子とピーク電流

t＝T/2の切替直後もインダクタンスにより負荷電流は同じ向きに流れ続けるため、D₃・D₄が導通して直流側へエネルギーを返します。τ＝L/R＝5ms、x＝T/(2τ)＝1、e^−x＝0.368からI_p＝46.2Aです。

ポイント解説：D3・D4の回生と定常周期条件

t＝T/2直前はQ1,Q2が通電中で、負荷には+E_dが加わり電流は増加中です。切替直後も負荷のインダクタンスが電流を同方向に流し続けようとするため、Q3,Q4は逆方向で導通できず、逆並列ダイオードD3,D4を経由して電源に逆らって還流します。

定常状態の周期条件 \(i_a(T/2)=-I_p e^{-T/2\tau}+\dfrac{E_d}{R}(1-e^{-T/2\tau})=I_p\) を I_p について解くと、$$I_p=\dfrac{E_d}{R}\cdot\dfrac{1-e^{-T/2\tau}}{1+e^{-T/2\tau}}$$ となります。

問題の解説：(a)D3・D4、(b)46A

STEP1　（a）ゲート切替直後の電流経路を判定する

電流はQ1→負荷→Q2の向きに流れ続けようとしますが、Q3,Q4は逆方向で導通できないため、逆並列のダイオードD3,D4を経由して還流します。よって(a)-(4) D3,D4。

STEP2　（b）周期条件の式を I_p について解く

$$-I_pe^{-T/2\tau}+\frac{E_d}{R}\left(1-e^{-T/2\tau}\right)=I_p\ \Rightarrow\ I_p=\frac{E_d}{R}\cdot\frac{1-e^{-T/2\tau}}{1+e^{-T/2\tau}}$$

STEP3　（b）数値を代入して I_p を求める

時定数 \(\tau=L/R=10\times10^{-3}/2.0=5\ [\text{ms}]\)、\(e^{-T/2\tau}=e^{-10/(2\times5)}=e^{-1}=1/2.718\fallingdotseq0.368\) より、

$$I_p=\frac{200}{2.0}\times\frac{1-0.368}{1+0.368}\fallingdotseq46.2\ [\text{A}]$$

最も近いのは(b)-(2) 46です。

答え：(a)-(4)，(b)-(2)

まとめ

(a)還流デバイス	D3,D4
τ＝L/R	5ms
e^(−T/2τ)	≒0.368
Ip	≒46.2A
(a)	(4)
(b)	(2)
答え	(a)-(4)，(b)-(2)

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