今回は平成28年度 理論科目 A問題12を解説します。荷電粒子を微小な線電流とみなしてローレンツ力の式を導出し、力の向き（フレミングの法則）、および鉛直磁界中を水平に放った電子の運動を問う穴埋め問題です。
微小線電流が受ける電磁力F=BIΔl・sinθに電流I=vq/Δlを代入するとΔlが約分され、ローレンツ力F=qvB・sinθが得られます。向きはフレミング左手の法則、磁界中の電子は常に速度に垂直な力を受けて円運動します。
平成28年度 理論科目 A問題12：問題文と選択肢
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「平成28年度 第三種電気主任技術者試験」理論科目 A問題12
電験3種 理論科目 【電子理論（電子の運動）】 平成28年度 A問題12
次の文章は、ローレンツ力に関する記述である。
電荷q[C]をもつ荷電粒子が磁束密度B[T]の中を速度v[m/s]で運動するとき受ける電磁力はローレンツ力と呼ばれ、次のように導出できる。まず、荷電粒子を微小な長さΔl[m]をもつ線分とみなせると仮定すれば、単位長さ当たりの電荷（線電荷密度という。）はq/Δl[C/m]となる。次に、この線分が長さ方向に速度vで動くとき、線分には電流I=vq/Δl[A]が流れていると考えられる。そして、この微小な線電流が受ける電磁力はF=BIΔl・sinθ[N]であるから、ローレンツ力の式F=(ア)[N]が得られる。ただし、θはvとBとの方向がなす角である。
FはvとBの両方に直交し、Fの向きはフレミングの(イ)の法則に従う。では、真空中でローレンツ力を受ける電子の運動はどうなるだろうか。鉛直下向きの平等磁束密度Bが存在する空間に、負の電荷をもつ電子を速度vで水平方向に放つと、電子はその進行方向を前方とすれば(ウ)のローレンツ力を受けて(エ)をする。ただし、重力の影響は無視できるものとする。
上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)、(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
(ア) (イ) (ウ) (エ) (1) qvB sinθ 右手 右方向 放物線運動 (2) qvB sinθ 左手 右方向 円運動 (3) qvBΔl sinθ 右手 左方向 放物線運動 (4) qvBΔl sinθ 左手 左方向 円運動 (5) qvBΔl sinθ 左手 右方向 ブラウン運動
出題のポイント：\(F=BIl\sin\theta\) からローレンツ力を導く
ローレンツ力の式 \(F=qvB\sin\theta\) を、電流が受ける力 \(F=BIl\sin\theta\) から導く——公式を暗記するのではなく、成り立ちをたどらせるのが本問の狙いです。
荷電粒子を「微小な長さ \(\Delta l\) の線分」とみなすという発想がカギです。電荷が動く＝電流が流れると考えれば、既知の \(F=BIl\sin\theta\) が使えます。
線電荷密度 \(q/\Delta l\ \mathrm{[C/m]}\) が速度 \(v\) で動くと、1秒間に \(q v/\Delta l\ \mathrm{[C]}\) の電荷が通過します。これが電流 \(I\) です。
解説：4つの空欄を順に埋める
\(\Delta l\) が約分
電流・磁界・力
負電荷なので反転
❷のフレミング左手則は「電・磁・力」——中指が電流、人差し指が磁界、親指が力です。右手則は発電機（起電力）用なので混同しないでください。
❸で電子が負電荷であることを反映します。電子が前方へ進む＝電流は後方へ流れる——電流の向きを逆にしてから左手を当てます。
鉛直下向きの磁界の中を水平に進む電子は、右方向に力を受けます。力が常に速度と直角なので、電子は右へ右へと曲がり続けて円を描きます。
誤答の正体：\(\Delta l\) が残っていたら誤り
| 選択肢 | (ア) | (イ) | (ウ) | (エ) | どこが誤りか |
| (1) | \(qvB\sin\theta\) | 右手 | 右方向 | 放物線 | (イ)(エ)が誤り |
| (2) | \(qvB\sin\theta\) | 左手 | 右方向 | 円運動 | 正解 |
| (3) | \(qvB\Delta l\sin\theta\) | 右手 | 左方向 | 放物線 | ほぼ全部誤り |
| (4) | \(qvB\Delta l\sin\theta\) | 左手 | 左方向 | 円運動 | (ア)(ウ)が誤り |
| (5) | \(qvB\Delta l\sin\theta\) | 左手 | 右方向 | ブラウン運動 | (ア)(エ)が誤り |
(3)(4)(5)は \(\Delta l\) が残っているので即座に消せます。単位を見れば \(\mathrm{N\cdot m}\)——力ではありません。これだけで3択に絞れます。
(5)の「ブラウン運動」は微粒子の不規則な熱運動のことで、磁界中の電子とは無関係です。明らかに場違いな用語が紛れ込んでいます。
⚠️ よくある間違い
フレミングの右手則と左手則を混同しないでください。左手＝力（モータの原理）、右手＝起電力（発電機の原理）——「左でモータ、右で発電」と覚えます。
☝️ ひっかけの作り方：電子は負電荷なので、電流の向きは進行方向と逆です。この反転を忘れると、力の向きが180°ずれます。「電子が右へ進む＝電流は左向き」と読み替えてから左手を当ててください。
深掘り①：なぜ \(\Delta l\) が消えるのか
途中で導入した \(\Delta l\) が、最後には消えてしまう——これは「補助的な量」だからです。物理量の導出でよくある構造です。
ここで相殺
\(\Delta l\) で割ってから \(\Delta l\) を掛ける——結果として消えるのは当然です。「電荷を線分とみなす」のは計算のための便法であって、物理的な実体ではありません。
この導出が示しているのは、\(F=BIl\) と \(F=qvB\) が同じ現象の別表現だということです。電流は電荷の流れ——だから同じ法則で説明できます。
深掘り②：フレミング左手則の使い方
左手の3本指を直角に開く——それぞれが何を表すかを確実に覚えましょう。
| 指 | 表すもの | 覚え方 |
| 中指 | 電流 | 【電】流 |
| 人差し指 | 磁界 | 【磁】界 |
| 親指 | 力 | 【力】 |
「電・磁・力」を中指から順に——中指・人差し指・親指の順です。右手則も同じ並びですが、こちらは「起電力」を求めるときに使います。
電子の問題では、必ず「電流の向きは電子の進行方向と逆」と直してから当てます。この一手間を省くと、答えが正反対になります。
外積 \(\vec F=q\vec v\times\vec B\) で計算する方法もあります。こちらは符号がそのまま扱えるので、慣れれば確実です。左手則は「素早く確認する」のに便利です。
深掘り③：ローレンツ力が円運動を生む理由
力が常に速度と直角——この性質が円運動を生みます。なぜそうなるのかを整理しておきましょう。
| 力の向き | 速度への影響 | 軌道 |
| 速度と平行 | 速さが変わる | 直線（加速・減速） |
| 速度と直角（一定の大きさ） | 向きだけ変わる | 円 |
| 一定方向（速度と無関係） | 両方変わる | 放物線 |
ローレンツ力は2番目です。速さが変わらないので \(F=qvB\) の大きさも一定——だからきれいな円になります。
電界の力は3番目です。向きが固定されているので、速度がどう変わっても力は同じ向き——放物線になります。
「磁界は仕事をしない」という性質も、ここから導けます。力が速度と直角なら、\(F\cos90^\circ=0\)——仕事はゼロです。
⏱️ 本番での進め方
❶ \(\Delta l\) が残っている選択肢は即消し——次元が \(\mathrm{N\cdot m}\) になる。
❷ 力を求めるのは左手則——右手則は起電力用。
❸ 電子なら電流の向きを反転——進行方向と逆。
❹ 力が速度に直角＋大きさ一定＝円運動——放物線でも単振動でもない。
💡 覚え方
「\(F=BIl\) と \(F=qvB\) は同じもの」——電流は電荷の流れだからです。導出の流れを1度たどっておけば、どちらの式も自信を持って使えます。
出題履歴：導出過程を問う出題
公式そのものではなく「どう導くか」を問う形式は、理解の深さを測るものです。暗記だけでは対応できませんが、1度導出を追っておけば確実に解けます。
この分野はほぼ毎年どこかで出題されます。手を動かして解ける状態にしておけば、本番で確実に得点できます。
あわせて解いておきたい記事：【理論】平成24年度A問題12（円運動の半径・周期・角周波数）／【理論】平成30年度A問題12（磁界に平行に放出すると直進）
まとめ
| (ア) | F=qvB sinθ |
| (イ) | フレミング左手 |
| (ウ) | 右方向 |
| (エ) | 円運動 |
| 答え | (2) |
▼あわせて解きたい関連問題
・磁界中の電子の等速円運動（電子の運動11）：【理論】平成30年度 A問題12
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