情報14【電験3種 機械】カルノー図で論理式を積和形式・和積形式に簡単化！令和元年度 B問題18 完全解説

今回は令和元年度 機械科目 B問題18を解説します。情報13（平成25年度B問題18）と同型の、論理式の簡単化を積和形式(a)と和積形式(b)でそれぞれ行う問題です。具体的な式・選択肢の数値は情報13とは異なります。

(a)はXY×Zのカルノー図（4×2マス）を描いてループ化する方法が分かりやすく、X・Y̅+Y・Zに整理できます。(b)は2項ずつペアにして(Z+Z̄)や(Y+Y̅)の吸収則を使うと(X+Y)・(X+Z)の形に整理できます。

令和元年度 機械科目 B問題18：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【情報】 令和元年度 B問題18

　論理関数について，次の(a)及び(b)の問に答えよ。(a) 論理式 X・Y・Z + X・Y̅・Z̄ + X̄・Y・Z + X・Y̅・Z を積和形式で簡単化したものとして，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

　(b) 論理式 (X+Y+Z)・(X+Y+Z̄)・(X+Y̅+Z) を和積形式で簡単化したものとして，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）X・Y + X・Z　（2）X・Y̅ + Y・Z　（3）X̄・Y + X・Z　（4）X・Y + Y̅・Z　（5）X・Y + X̄・Z

（1）(X+Y)・(X+Z)　（2）(X+Y̅)・(X+Z)　（3）(X+Y)・(Y+Z̅)　（4）(X+Y̅)・(Y+Z)　（5）(X+Z)・(Y+Z̅)

出題のポイント：積和は1を囲み、和積は補数対を消す

積和形式はカルノー図で1を隣接する2の累乗個にまとめ、各グループの積項をORで結びます。和積形式は、1文字だけが互いに補数となる和項の積に着目します。(U＋V)(U＋V̄)＝Uを使えば、補数の文字を消して簡単化できます。

ポイント解説：(a) 4つの1を2組にまとめる

本問は情報13（平成25年度B問題18）と同型の論理式簡単化問題です。積和形式（a）はカルノー図（XY×Zの4×2マス）を使うと見通しよく解けます。

和積形式（b）は式を2項ずつペアにして分配・簡単化するアプローチが有効です。(X+Y+Z)・(X+Y+Z̄)のような、1文字だけが否定で異なる2項の積は、その文字が吸収されてX+Yのように簡単になります。

問題の解説：(b) 共通因子を複製して補数対を消す

STEP1　(a) カルノー図を描く

XY×Zの4×2マスのカルノー図を描き、X・Y・Z＋X・Y̅・Z̄＋X̄・Y・Z＋X・Y̅・Zの4項をプロットします。

X・Y̅の縦ループとY・Zの横ループが見えてきます。

STEP2　(a) ループから論理式を組み立てる

$$X\cdot Y\cdot Z+X\cdot\bar Y\cdot\bar Z+\bar X\cdot Y\cdot Z+X\cdot\bar Y\cdot Z\rightarrow X\bar Y+YZ$$

これは選択肢(2)と一致します（別解：代数的にX・Y̅・(Z+Z̄)+(X+X̄)・Y・Z=X・Y̅+Y・Zと整理しても同じ結果）。

STEP3　(b) 2項ずつペアにして分配・簡単化する

$$(X+Y+Z)\cdot(X+Y+\bar Z)=X+Y$$（ZとZ̄部分が吸収）

$$(X+Y+Z)\cdot(X+\bar Y+Z)=X+Z$$（YとY̅部分が吸収）

STEP4　全体をまとめる

上記2つの結果より、$$W=(X+Y)\cdot(X+Z)$$

これは選択肢(1)と一致します。

答え：(a)-(2)，(b)-(1)

まとめ

(a)の答え	X・Y̅+Y・Z
(b)の答え	(X+Y)・(X+Z)
答え	(a)-(2)，(b)-(1)

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