情報13【電験3種機械】論理式を積和形式・和積形式に簡単化する！平成25年度 B問題18 完全解説

2026年7月10日2026年8月4日

電験3種機械科目情報平成25年度 B問題18 積和形と和積形！同じ式を2通りで表す

今回は平成25年度機械科目 B問題18を解説します。与えられた論理式を積和形式に簡単化する(a)と、別の論理式を和積形式に簡単化する(b)の2部構成の問題です。

(a)は共通項でくくって(Z̄+Z)=1などの公式を使う代数的な整理です。(b)はいったん式全体を否定して積和形式に展開し、共通項でくくってからもう一度ド・モルガンの定理を適用して和積形式に戻すという手順で解きます。

平成25年度機械科目 B問題18：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種機械科目情報平成25年度 B問題18 問題文 — 平成25年度機械科目 B問題18 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成25年度第三種電気主任技術者試験」機械科目 B問題18

電験3種機械科目【情報】平成25年度 B問題18

　論理関数に関する次の(a)及び(b)の問に答えよ。(a) 論理式 X・Y・Z̄ + X・Y・Z + X̄・Y・Z + X̄・Y̅・Z を積和形式で簡単化したものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

　(b) 論理式 (X+Y+Z)・(X+Y̅+Z)・(X̄+Y+Z) を和積形式で簡単化したものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）X・Y + X・Z　（2）X・Y̅ + Y・Z　（3）X̄・Y + X・Z　（4）X・Y + Y̅・Z　（5）X・Y + X̄・Z

（1）(X+Z)・(Y̅+Z)　（2）(X̄+Y)・(X+Z)　（3）(X+Y)・(Y+Z)　（4）(X+Z)・(Y+Z)　（5）(X+Y)・(X̄+Z)

出題のポイント：くくり出して A＋Ā＝1 を使う

(a)は積和形式の簡単化——共通因数でくくって、補元則で変数を消すのが基本手順です。

法則	式	使いどころ
補元則	A＋Ā＝1、A·Ā＝0	★変数を1つ消す
同一則	A＋A＝A、A·A＝A	同じ項を何度でも使う
吸収則	A＋A·B＝A、A＋Ā·B＝A＋B	項を減らす
分配則	A＋B·C＝(A＋B)·(A＋C)	★積和と和積を行き来する
ド・モルガン	(A＋B)‾＝Ā·B̄、(A·B)‾＝Ā＋B̄	否定を分配する

\( X\!\cdot\!Y\!\cdot\!\overline{Z}+X\!\cdot\!Y\!\cdot\!Z+\overline{X}\!\cdot\!Y\!\cdot\!Z+\overline{X}\!\cdot\!\overline{Y}\!\cdot\!Z \)

与えられた式
4項

\( =XY(\overline{Z}+Z)+\overline{X}Z(Y+\overline{Y}) \)

前2項と後2項でくくる
★共通因数を探す

\( =XY\cdot1+\overline{X}Z\cdot1=XY+\overline{X}Z \)

補元則
A＋Ā＝1

前の2項は XY が共通、後の2項は X̄Z が共通——くくると残りが Z̄＋Z と Y＋Ȳ になり、どちらも1 です。

答え(a)の正解は (5) X·Y＋X̄·Zです。4項が2項にまとまりました。

論理式の簡単化に使う相補則、共通因数、和積の恒等式 — (a)は共通項でくくり、(b)はP=X+Zと置いてYとYバーの因子をまとめます。

(b) 和積形式は分配則で処理する

(b)は括弧の積の形（和積形式）——展開せずに、和に対する分配則を使うのが近道です。

和に対する分配則

\( (A+B)(A+C)=A+B\cdot C \)

共通項A をくくり出す——積和のときとは形が逆になります。

\( (X+Y+Z)(X+\overline{Y}+Z) \)

前の2つに注目
共通は X＋Z

\( =(X+Z)+Y\overline{Y}=(X+Z)+0=X+Z \)

分配則と補元則
★Y·Ȳ＝0

\( (X+Z)(\overline{X}+Y+Z)=XY+Z \)

残りと掛ける
展開して整理

\( XY+Z=(X+Z)(Y+Z) \)

和積形式に戻す
★分配則を逆に使う

論理式bを共通部分X+Zから和積形式へ簡単化する式変形 — 最初の2因子をX+Zにまとめると、最終式は(X+Z)(Y+Z)となり選択肢(4)です。

答え(b)の正解は (4) (X＋Z)·(Y＋Z)です。3つの括弧が2つにまとまりました。

途中で XY＋Z という積和形式を経由しています。そこから和積形式に戻すのが最後の一手——A＋B·C＝(A＋B)(A＋C) を右から左に使うのです。

⚠️ よくある間違い
和積形式のまま処理しようとすると混乱します。いったん展開して積和形式にし、簡単化してから戻す——回り道のようで、こちらが確実です。
検算は真理値表で。元の式と答えの式が、8通りの入力すべてで一致するか——時間があれば数点だけでも確かめてください。
とくに X＝0、Y＝0、Z＝0 と X＝1、Y＝1、Z＝1——この2点は計算が楽です。

積和形式と和積形式

同じ論理を表す式には、2つの標準的な形があります。どちらも一長一短です。

	積和形式（SOP）	和積形式（POS）
形	A·B＋C·D	(A＋B)·(C＋D)
作り方	X＝1 の行から	★X＝0 の行から
回路	AND →OR の2段	OR →AND の2段
向いている場面	X＝1 が少ないとき	X＝0 が少ないとき

1 の行が少なければ積和、0 の行が少なければ和積——項の数が少ないほうを選べば式が短くなるのです。

どちらもAND とOR の2段で実現できる——だから回路の速さは同じです。違うのは部品の数だけになります。

ド・モルガンを使えば、どちらの形にも変換できます——本問の(b)がまさにその練習。積和と和積を自由に行き来できるようになると、この分野は強くなります。

⏱️ 本番での進め方
①(a) 共通因数でくくり、A＋Ā＝1 で変数を消す。
② XY(Z̄＋Z)＋X̄Z(Y＋Ȳ)＝XY＋X̄Z。
③(b) (A＋B)(A＋C)＝A＋B·C を使う。Y·Ȳ＝0 で消える。
④ 積和にしてから和積へ戻す。XY＋Z＝(X＋Z)(Y＋Z)。

💡 覚え方
「積和は A＋Ā＝1、和積は A·Ā＝0」——使う補元則が逆になる。そして「和積で困ったら積和にしてから戻す」——遠回りのようで確実な道です。