情報10【電験3種 機械】NANDゲートのみで構成した全加算器の真理値表！令和4年度上期 B問題18 完全解説

今回は令和4年度上期 機械科目 B問題18を解説します。NANDゲートのみで構成された論理回路（図1）の真理値表を求める(a)と、図1のブロックを2組接続して全加算器を構成したとき（図2）の出力S2，C2を求める(b)の2部構成問題です。

(a)は中間ノードD，E，Fを割り付けて段階的に論理式を求め、S1が排他的論理和（EX-OR）、C1が論理積（AND）になることを確認します。(b)は(a)の結果を使って図2の全加算器としての出力を真理値表にまとめ、選択肢と照合します。

令和4年度上期 機械科目 B問題18：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「令和4年度上期 第三種電気主任技術者試験」機械科目 B問題18

電験3種 機械科目 【情報】 令和4年度上期 B問題18

　以下の論理回路について，次の(a)及び(b)の問に答えよ。(a) 図1に示す論理回路の真理値表として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

　(b) 図1に示す論理回路を2組用いて図2に示すように接続して構成したとき，A，B及びC0の入力に対する出力S2及びC2の記述として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

	A,B	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
00	S1=0,C1=0	S1=0,C1=1	S1=0,C1=0	S1=0,C1=1	S1=0,C1=0
01	0,0	0,0	1,0	0,0	1,0
10	0,0	0,0	0,0	1,0	1,0
11	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1

（1）A=0,B=0,C0=0を入力したときの出力は，S2=0,C2=1である。
（2）A=0,B=1,C0=0を入力したときの出力は，S2=1,C2=0である。
（3）A=1,B=0,C0=0を入力したときの出力は，S2=0,C2=1である。
（4）A=1,B=0,C0=1を入力したときの出力は，S2=1,C2=0である。
（5）A=1,B=1,C0=1を入力したときの出力は，S2=0,C2=1である。

出題のポイント：図1は半加算器

NAND だけで組まれた図1の回路——整理すると S₁＝A⊕B、C₁＝A·B になります。これは半加算器です。

A	B	A＋B（2進数）	S1（和）	C1（桁上げ）
0	0	0	0	0
0	1	1	★1	0
1	0	1	★1	0
1	1	10	0	★1

1＋1＝10（2進数）——その1桁目が S₁、2桁目（桁上げ）が C₁ です。「和はEX-OR、桁上げはAND」——これが半加算器の基本になります。

NAND だけで作られているのは、NAND が万能ゲートだから——1種類で済むので、IC の設計では好まれるのでした。

(b) 半加算器2組で全加算器

図2は、図1のブロックを2組つないだ回路——これで全加算器ができます。下位からの桁上げC₀ も受け取れるのが半加算器との違いです。

	半加算器	全加算器
入力	A、B の2つ	★A、B、C0 の3つ
出力	和と桁上げ	和と桁上げ
使える場所	最下位の桁だけ	★どの桁でも

全加算器は「3つの数を足して、和と桁上げを出す」回路です。A＋B＋C₀ の結果が2ビット——下位が S₂、上位が C₂ になります。

A	B	C0	合計	S2	C2
0	0	0	0	0	0
0	1	0	1	★1	0
1	0	0	1	1	0
1	0	1	2	0	★1
1	1	1	3	1	★1

「1 の個数」で判定できます——合計が0 なら00、1 なら01、2 なら10、3 なら11。S₂ は1 の個数の偶奇、C₂ は2個以上かどうかです。

加算器をつなげて多桁の計算に

全加算器を桁数分つなげば、何桁でも足し算できます。下位の桁上げを、上位の C₀ に入れるだけです。

方式	つなぎ方	速さ
順次桁上げ加算器	桁上げを順に伝える	★桁数に比例して遅い
桁上げ先見加算器	桁上げを先に計算する	速いが回路が大きい

順次桁上げ方式では、最下位の桁上げが最上位まで伝わるのを待つ——32ビットなら32段分の遅れになります。

だから実際のプロセッサでは、桁上げを先回りして計算する方式が使われます。回路は大きくなるが、速さが桁違い——「面積と速度のトレードオフ」という設計の基本がここにも現れています。

基本は本問の全加算器——それを何個並べ、どうつなぐかという工夫の話です。加算器が分かれば、引き算も掛け算も原理は同じになります。

半加算器をNANDだけで作る

図1がNAND だけで組まれている——どうやってEX-OR とAND を作っているのかを見ておきましょう。

ノード	式	役割
D	(A·B)‾	最初のNAND
E	(A·D)‾	A 側の分岐
F	(B·D)‾	B 側の分岐
S1	(E·F)‾＝A⊕B	★和
C1	D の否定＝A·B	★桁上げ

NAND を4個使えばEX-OR ができる——よく知られた構成です。桁上げはD をもう一度否定するだけで得られます。

1種類のゲートで済むのが最大の利点——IC の中では同じ形の素子を並べるだけになり、製造も設計も楽になるのです。

加算器から引き算へ

加算器があれば、引き算もできます——2の補数を使うのがその方法です。

A−B は A＋(−B)——−B は B の全ビットを反転して1 を足したもの。反転はEX-OR で、＋1 は最下位の桁上げ入力に1 を入れるだけで実現できます。

つまり全加算器の列にEX-OR を1段足すだけで、加算器が減算器にもなる——専用の引き算回路は要りません。本問の桁上げ入力という端子が、そこで生きてくるのです。

掛け算も、足し算とシフトの繰り返し——すべての算術演算が加算器を土台にしていることになります。本問の小さな回路が、計算機の基礎だと言えるでしょう。

論理回路の問題を確実に取るために

本問のようなB問題は、(a)が(b)の前提になっています。(a)を落とすと(b)も危うい——だから(a)を確実に取りましょう。

段階	やること	確認
①	中間ノードに文字を割り付ける	図に書き込む
②	1段ずつ式を作る	NAND なら否定を忘れない
③	4通りの入力で真理値表を作る	★選択肢と照合

2入力なら4通りしかない——全部試しても手間はわずかです。式を作るのが面倒なら、直接4通りを回路に通すほうが速いかもしれません。

(b)は(a)の結果を使うだけ——「入力の1 の個数を数えて2進数にする」という理解があれば、選択肢を1つずつ確認するだけで済みます。

加算器は情報分野の定番——半加算器と全加算器の違い、和と桁上げの式はそのまま覚えておく価値があります。

まとめ

S1	A⊕B（排他的論理和）
C1	A・B
(a)の答え	(5)
(b)の答え	(2)

▼あわせて解きたい関連問題
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