情報1【電験3種 機械】真理値表から論理式を選ぶ3変数の基本問題！令和5年度下期 A問題14 完全解説

今回は令和5年度下期 機械科目 A問題14を解説します。入力信号A，B及びC，出力信号Xの論理回路が与えられた真理値表を満たすとき、Xの論理式を選ぶ問題です。

出力X=1となる入力の組合せをすべて論理積の形で書き出し、それらを論理和で結んでから代数的に簡単化する、あるいは各選択肢に入力を代入して消去法で絞り込むという2通りの方針で解けます。

令和5年度下期 機械科目 A問題14：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「令和5年度下期 第三種電気主任技術者試験」機械科目 A問題14

電験3種 機械科目 【情報】 令和5年度下期 A問題14

　入力信号がA，B及びC，出力信号がXの論理回路が次の真理値表を満たしているとき，Xの論理式として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

入力信号A，B及びC，出力信号Xの論理回路が次の真理値表を満たしているとき，Xの論理式として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

	A	B	C	X
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	0

（1）X = Ā・B̄・C + A・B̄・C + Ā・B・C̄
（2）X = Ā・B・C̄ + A+B + B+C + C+A （各項全体否定の論理和）
（3）X = Ā・B + B̄・C + C̄・A
（4）X = Ā・B + B̄・C + C̄・A （各文字への上線の掛かり方が(3)と異なる特殊表記）
（5）X = Ā・B̄ + B̄・C̄ + C̄・A

出題のポイント：X＝1 が4つ、X＝0 が4つ

1 と0 が半分ずつ——どちらから攻めても手間は同じです。X＝1 の行に注目してみましょう。

A	B	C	X	0 の個数
0	0	0	1	3個
0	0	1	1	2個
0	1	0	1	2個
1	0	0	1	2個

X＝1 になるのは「0 が2個以上のとき」——言い換えれば「1 が1個以下のとき」です。多数決の逆のような働きをしています。

「0 が2個以上」を式にすると、2つずつの組合せの論理和——Ā·B̄、B̄·C̄、Ā·C̄ の3つになります。

カルノー図で確かめる

C＼AB	00	01	11	10
0	★1	★1	0	★1
1	★1	0	0	0

グループ	囲む場所	残る項
①	AB＝00 の縦2マス	Ā·B̄
②	C＝0 の AB＝00と01	Ā·C̄
③	C＝0 の AB＝00と10	B̄·C̄

3つのグループが AB＝00、C＝0 のマスで重なっています——重なってかまわないのがカルノー図の約束でした。

どのグループも2マス——だから変数が1つずつ消えて、2変数の項になるのです。3つとも必要で、どれか1つでも欠けると1 のマスを覆いきれません。

「多数決」の論理との対比

本問は「1 が1個以下ならX＝1」でした。逆に「1 が2個以上なら1」という論理もよく使われます。

論理	式	用途
多数決（2/3）	A·B＋B·C＋C·A	★3重系の判定
本問（0 が2個以上）	Ā·B̄＋B̄·C̄＋Ā·C̄	多数決の否定

2つの式は、変数をすべて否定した関係にあります。「1 が多数」と「0 が多数」は裏返し——3変数なら必ずどちらか一方が成り立ちます。

多数決回路は、信頼性を高める仕組みとして実際に使われています。同じ計算を3系統で行い、2つ以上が一致した結果を採用する——1系統が故障しても正しい結果が得られるのです。

原子力発電所の保護装置や、航空機の制御装置——絶対に誤ってはいけない用途で採用されている方式になります。単純な論理式が、信頼性設計の中核を担っているわけです。

否定記号の読み方に慣れる

本問の選択肢は、上線の掛かり方だけが違う——読み間違えると全滅します。記法を整理しておきましょう。

表記	意味	いつ1 になるか
Ā·B̄	A の否定と B の否定の積	★A＝0 かつ B＝0
(A·B)‾	A·B 全体の否定（NAND）	A·B＝0、つまりどちらかが0
Ā·B	A の否定と B の積	A＝0 かつ B＝1

Ā·B̄ と (A·B)‾ はまったく別物です。前者は「両方0」、後者は「両方1 でない」——A＝1、B＝0 のとき前者は0、後者は1 になります。

ド・モルガンで書き換えれば (A·B)‾＝Ā＋B̄——積が和に変わることに気づけます。上線が長いか短いかで、積と和が入れ替わるのです。

確実に絞る手順

紛らわしい選択肢が並ぶときは、代入して落とす——これが最も確実です。

使う行	入力	正しいX	落とせる肢
①	A＝B＝C＝1	0	否定なしの項をもつ肢
②	A＝0、B＝1、C＝1	0	Ā を含む2変数項の肢
③	A＝B＝C＝0	1	1 にならない肢

すべて1 の行と、すべて0 の行——この2つは計算が楽なので、まず試す価値があります。

すべて1 なら、否定を含む項はすべて0——否定のない項があれば1 になってしまうので、そこで落とせます。

すべて0 なら、否定を含む項が1 になる——本問ではX＝1 なので、少なくとも1つの項が1 にならなければおかしいのです。

3変数の論理式の型

3変数の問題では、いくつかの典型的な形が出てきます。型を知っておくと、答えの見当がつきます。

条件	論理式	項の数
すべて1	A·B·C	1項
どれか1つでも1	A＋B＋C	—
2つ以上が1（多数決）	A·B＋B·C＋C·A	★3項
2つ以上が0（本問）	Ā·B̄＋B̄·C̄＋Ā·C̄	★3項

「2つ以上」を表すには、2変数の積を3組そろえる——3つから2つを選ぶ組合せが3通りだからです。

本問の選択肢が3項の形をしているのも、この型に沿っているから。型を知っていれば、答えの形が予想できるのです。

真理値表から論理式を組み立てる

出力が1 になる行を拾って、足し合わせる——これが加法標準形（主加法標準形）です。

手順	やること	例
①	出力が1 の行を探す	A＝1、B＝0、C＝1 の行など
②	★各行を積項にする	1 はそのまま、0 は否定
③	すべての積項をOR で結ぶ	A·B̄·C＋…

「1 の行だけを拾う」——0 の行は無視してよいのです。OR で結ぶので、どれか1つでも成立すれば出力が1 になります。

変数が0 の欄には否定を付ける——A＝0 なら Ā。その行の条件を「すべて満たす」ことを積で表しているのです。

逆に、出力が0 の行から作れば和積標準形——1 の行が少ないなら加法標準形、0 の行が少ないなら和積標準形。短くなるほうを選ぶと、選択肢との照合が楽になります。

まとめ

X=1の行	000,001,010,100
整理後の式	Ā・B̄+B̄・C̄+C̄・A
答え	(5)

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