自動制御12【電験3種機械】調節計のブロック線図とCR回路（比例プラス積分要素）！平成20年度 B問題17 完全解説

2026年7月10日2026年8月8日

電験3種機械科目自動制御平成20年度 B問題17 比例プラス積分の正体！CR回路で実現する

今回は平成20年度機械科目 B問題17を解説します。調節計の演算回路に用いられるフィードバックブロック線図とその内部のCR回路について、周波数伝達関数G1(jω)を求める(a)と、ゲインKが非常に大きいときの近似式（比例プラス積分要素）を求める(b)の問題です。★自動制御11（令和5年度下期B問題18）はこの問題と図・問題文・選択肢・正解が全く同一で、本問（平成20年度）が出題年度としては古く、自動制御11はその再出題にあたります。

解法は自動制御11と全く同じです。CR回路の分圧計算でG1(jω)＝jωCR/(1+jωCR)を導き、G(jω)＝K/(1+K・G1(jω))にKが非常に大きいという条件（1/K≈0）を適用して整理します。

🔁 この問題は繰り返し出題されています
ほぼ同じ問題が【機械】令和5年度下期B問題18 でも出題されています。出題パターンが固定なので、セットで解けば確実な得点源になります。

平成20年度機械科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種機械科目自動制御平成20年度 B問題17 問題文 — 平成20年度機械科目 B問題17 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成20年度第三種電気主任技術者試験」機械科目 B問題17

電験3種機械科目【自動制御】平成20年度 B問題17

　図1は，調節計の演算回路などによく用いられるブロック線図を示す。次の(a)及び(b)に答えよ。

（a）図2は，図1のブロックG1(jω)の詳細を示し，静電容量C[F]と抵抗R[Ω]からなる回路を示す。この回路の入力量V1(jω)に対する出力量V2(jω)の周波数伝達関数G1(jω)=V2(jω)/V1(jω)を表す式として，正しいのは次のうちどれか。

（1）1/(CR+jω)　（2）1/(1+jωCR)　（3）CR/(CR+jω)　（4）CR/(1+jωCR)　（5）jωCR/(1+jωCR)

（b）図1のブロック線図において，閉ループ周波数伝達関数G(jω)=X(jω)/Y(jω)で，ゲインKが非常に大きな場合の近似式として，正しいのは次のうちどれか。なお，この近似式が成立する場合，この演算回路は比例プラス積分要素と呼ばれる。

（1）1+jωCR　（2）1+CR/jω　（3）1+1/(jωCR)　（4）1/(1+jωCR)　（5）(1+CR)/(jωCR)

出題のポイント：(a)はハイパスフィルタ

図2の回路は、キャパシタが直列・抵抗が出力側——これまで見てきたRC回路とは逆の配置です。だから性質も逆になります。

\( G_1(j\omega)=\dfrac{R}{R+\dfrac{1}{j\omega C}} \)

分圧の式
出力は抵抗の両端

\( \phantom{G_1(j\omega)}=\dfrac{j\omega CR}{1+j\omega CR} \)

分母分子に jωC を掛ける
★分子に jωCR が現れる

	出力がキャパシタ（前問まで）	出力が抵抗（本問）
伝達関数	\( \dfrac{1}{1+j\omega CR} \)	\( \dfrac{j\omega CR}{1+j\omega CR} \)
直流（ω→0）	1（通す）	★0（通さない）
高周波（ω→∞）	0（通さない）	★1（通す）
呼び方	一次遅れ／ローパス	微分要素／ハイパス

直流ではキャパシタが開放になるので、抵抗には電圧が現れません——だからω→0 でゲイン0。選択肢(2)や(4)は直流で1 になってしまうので誤りです。

分子に jω があるかどうか——それがハイパスの目印です。「直流を通すか通さないか」で選択肢を半分に絞れます。

答え(a)の正解は (5) jωCR/(1＋jωCR)です。

コンデンサ直列・抵抗接地で出力を抵抗両端から取るCR回路と、K・G1の負帰還ブロック図 — CR回路の接続と出力位置を確認してから分圧式を立てます。

(b) ゲインが非常に大きいときの近似

K が非常に大きいとき、閉ループ伝達関数は帰還要素の逆数に近づく——制御工学で最も重要な近似のひとつです。

高ゲインフィードバックの近似

\( G=\dfrac{K}{1+KG_1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{K}+G_1}\ \xrightarrow{K\to\infty}\ \dfrac{1}{G_1} \)

1/K が0 に近づくので、残るのは 1/G₁——前向き要素の特性によらず、帰還要素だけで決まるようになります。

\( G\fallingdotseq\dfrac{1}{G_1}=\dfrac{1+j\omega CR}{j\omega CR} \)

逆数を取る
—

\( \phantom{G}=\dfrac{j\omega CR}{j\omega CR}+\dfrac{1}{j\omega CR} \)

項ごとに分ける
—

\( \phantom{G}=1+\dfrac{1}{j\omega CR} \)

整理
★比例項1 ＋積分項

「1」が比例動作、「1/(jωCR)」が積分動作——これが問題文の「比例プラス積分要素」の意味です。PI制御器がこの回路で実現できることになります。

平成20年度機械B問題17でCR回路は選択肢5、閉ループの大ゲイン近似は選択肢3と示す図 — (a)は（5）、(b)は（3）です。

答え(b)の正解は (3) 1＋1/(jωCR)です。1/(jω) は積分を表す——周波数領域で jω を掛けるのが微分、割るのが積分だからです。

⚠️ よくある間違い
(1) 1＋jωCRは比例プラス微分——jω が分子にあるので微分です。問題文が「比例プラス積分」と明言しているので、jω は分母になければなりません。
逆数を取り忘れて G₁ のままにすると(4)や(5)に着地します。K→∞ の近似は「帰還要素の逆数」——逆数であることを忘れないでください。

なぜ高ゲインだと帰還要素で決まるのか

この性質は、制御にも増幅回路にも共通する重要な考え方です。意味を押さえておくと応用が利きます。

K の値	1/K	G の近似	前向き要素の影響
10	0.1	やや影響あり	残る
1000	0.001	ほぼ 1/G₁	★ほとんど消える

前向き要素の特性がばらついても、K さえ十分大きければ出力は変わらない——これがフィードバックの最大の価値です。

オペアンプの増幅回路もまったく同じ。オペアンプ自体の増幅度は個体差が大きく温度でも変わる——それでも増幅度が抵抗比だけで決まるのは、この近似が成り立っているからです。

だから「精度が必要な部分は帰還側に置く」のが設計の定石になります。本問なら CR という受動素子だけで PI 特性が決まる——安定で正確な演算回路になるわけです。

⏱️ 本番での進め方
①(a) 出力が抵抗ならハイパス。分子に jωCR。
② 直流で0 になるか確認すれば半分に絞れる。
③(b) K→∞ なら G≒1/G₁。★逆数を取る。
④ (1＋jωCR)/(jωCR)＝1＋1/(jωCR)。jω が分母＝積分。

💡 覚え方
「高ゲインなら帰還要素の逆数」——オペアンプ回路と同じ原理。そして「jω が分子なら微分、分母なら積分」——これで比例プラス積分だと確認できます。

本問は令和5年度下期 B問題18と図・問題文・選択肢・正解がすべて同一です（自動制御：調節計の比例プラス積分要素）。15年ぶりの完全再出題でした。

G1=jωCR/(1+jωCR)を帰還に持つ閉ループをKが非常に大きい条件で1+1/(jωCR)へ近似する図 — 1/Kを零とみなすと、全体は比例要素と積分要素の和になります。

微分要素と積分要素の見分け方

本問では jω が分子か分母かで、微分か積分かが決まりました。この対応は制御工学の基本です。

要素	伝達関数	ボード線図の傾き	位相
微分	\( j\omega T \)	＋20 dB/dec	＋90°（進み）
比例	\( K \)	0（水平）	0°
積分	\( \dfrac{1}{j\omega T} \)	−20 dB/dec	−90°（遅れ）

jω を掛けるのが微分、割るのが積分——時間領域の d/dt が周波数領域では jω になるからです。積分はその逆なので 1/(jω) になります。

本問の答え 1＋1/(jωCR) は、比例項「1」と積分項「1/(jωCR)」の和——まさにPI制御器の伝達関数です。

PI制御器のボード線図

1＋1/(jωT) のボード線図は、低周波で積分特性、高周波で比例特性という形になります。

角周波数	支配的な項	ゲイン
ω ≪ 1/T	積分項	★−20 dB/dec で右下がり
ω ＝ 1/T	同じ大きさ	折れ点
ω ≫ 1/T	比例項	0 dB で水平