自動制御10【電験3種 機械】一巡伝達関数とベクトル軌跡（円弧）の読み取り！令和4年度上期 B問題15 完全解説

今回は令和4年度上期 機械科目 B問題15を解説します。自動制御9（令和7年度上期B問題18）と全く同じブロック線図構成で、K=5，T=0.1としたときの一巡伝達関数(a)と、そのベクトル軌跡(b)を求める問題です。数値だけが異なる同型の反復出題ですが、この問（令和4年度上期）のほうが先に出題された年度です。

解き方は自動制御9と同じです。制御対象内部の閉ループ伝達関数G(jω)＝1/(1+jωT)を求めてKを掛け、ベクトル軌跡はω=0とω=10の2点の座標から実軸切片と象限を確認して選択肢を絞り込みます。

令和4年度上期 機械科目 B問題15：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【自動制御】 令和4年度上期 B問題15

　図は，出力信号yを入力信号xに一致させるように動作するフィードバック制御系のブロック線図である。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

（a）図において，K=5，T=0.1として，入力信号からフィードバック信号までの一巡伝達関数（開ループ伝達関数）を表す式を計算し，正しいものを次の(1)〜(5)から一つ選べ。

（1）5/(1-jω0.1)　（2）5/(1+jω0.1)　（3）1/(6+jω0.1)　（4）5/(6-jω0.1)　（5）5/(6+jω0.1)

（b）(a)で求めた一巡伝達関数において，ωを変化させることで得られるベクトル軌跡はどのような曲線を描くか，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。いずれも複素平面上の円弧で，実軸切片は5.0または0.83，途中点はω=10または60で構成される。

（1）実軸切片5.0，上半平面（虚軸+側）の円弧，ω=∞で原点
（2）実軸切片0.83，上半平面の円弧，ω=60で45°方向
（3）実軸切片5.0，下半平面（虚軸-側）の円弧，ω=10で45°方向（下向き），ω=∞で原点
（4）実軸切片0.83，下半平面の円弧，ω=10で45°方向
（5）実軸切片0.83，下半平面の円弧，ω=60で45°方向

出題のポイント：一巡伝達関数の三つの代表点

一巡伝達関数はY(jω)＝5/(1＋j0.1ω)です。ω＝0で（5, 0）、ω＝10で（2.5, －2.5）、ω→∞で（0, 0）となります。実部が正、虚部が負なので、第4象限を通って原点へ向かいます。

ポイント解説：中心2.5、半径2.5の第4象限側半円

本問は自動制御9（令和7年度上期B問題18）と全く同じブロック線図構成で、K・Tの数値だけが異なる同型の反復出題です。解法の流れも全く同じです。

制御対象内部の閉ループ伝達関数を求めてからKを掛け、ベクトル軌跡は代表的なωでの座標から実軸切片と象限を確認します。

問題の解説：（a）は（2）、（b）は（3）

STEP1　(a) 制御対象内部の閉ループ伝達関数を求める

$$G(j\omega)=\frac{1/(j\omega T)}{1+1/(j\omega T)}=\frac{1}{1+j\omega T}$$

STEP2　(a) K=5，T=0.1を代入する

$$Y(j\omega)=K\times G(j\omega)=\frac{5}{1+j\omega0.1}$$

これは選択肢(2)と一致します。

STEP3　(b) 代表的なωでの座標を計算する

ω=0のとき：$$Y=5\rightarrow(5,\ 0)$$（実軸切片5.0）

ω=10のとき：$$Y=\frac{5}{1+j}=\frac{5}{\sqrt2}\angle(-45°)=(2.5,-2.5)$$（第4象限、45°方向下向き）

ω→∞のとき：Y≈0（原点に収束）

STEP4　選択肢の形状と照合する

実軸切片5.0・第4象限（下向き）・原点収束という条件を満たすのは(3)です。実軸切片が0.83の選択肢は(a)の答え5/(1+j0.1ω)と整合しないため不適です。

答え：(a)-(2)，(b)-(3)

まとめ

制御対象内部	1/(1+jωT)
一巡伝達関数	5/(1+j0.1ω)
ω=0	(5,0)
ω=10	(2.5,-2.5)第4象限
答え	(a)-(2)，(b)-(3)

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