自動制御2【電験3種機械】内側フィードバックループと並列経路のブロック線図！平成30年度 A問題13 完全解説

2026年7月10日2026年8月4日

電験3種機械科目自動制御平成30年度 A問題13 ループの中にまたループ！伝達関数をまとめる

今回は平成30年度機械科目 A問題13を解説します。内側に単位フィードバックループ「1/(jωT2)」を持ち、外側に並列経路「T1/T2」が加わるブロック線図から、出力C(jω)と入力R(jω)の比を求める問題です。

まず内側のフィードバックループだけを閉ループ伝達関数の公式でまとめ、次に並列のフィードフォワード経路を足し合わせるという2段階の等価変換で解きます。

平成30年度機械科目 A問題13：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種機械科目自動制御平成30年度 A問題13 問題文 — 平成30年度機械科目 A問題13 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成30年度第三種電気主任技術者試験」機械科目 A問題13

電験3種機械科目【自動制御】平成30年度 A問題13

　図のようなブロック線図で示す制御系がある。出力信号C(jω)の入力信号R(jω)に対する比，すなわちC(jω)/R(jω)を示す式として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）(T1+jω)/(T2+jω)
（2）(T2+jω)/(T1+jω)
（3）jωT1/(1+jωT2)
（4）(1+jωT1)/(1+jωT2)
（5）(1+jω(T1/T2))/(1+jωT2)

出題のポイント：内側から順にまとめる

ブロック線図が入れ子になっているときは、内側のループから片づける——これが鉄則です。外側を先に見ようとすると混乱します。

負帰還ループの合成

\( \dfrac{G}{1+GH} \)

分子は前向き経路G、分母は 1＋一巡伝達関数GH——単位フィードバックなら H＝1 です。

\( \dfrac{\dfrac{1}{j\omega T_2}}{1+\dfrac{1}{j\omega T_2}}=\dfrac{1}{1+j\omega T_2} \)

内側のループ
分母分子に jωT₂ を掛けた

1/(jωT₂) を単位フィードバックで囲むと、1/(1＋jωT₂)——一次遅れ要素になります。積分要素を負帰還で囲むと一次遅れになる——制御工学ではよく出てくる形です。

前向き1/(jωT2)の単位負帰還ループと、T1/T2の並列加算経路を二段階で整理する図 — 内側ループを先に閉じ、その後で並列経路を加えます。

外側の並列経路を足す

内側をまとめたら、外側は並列（フィードフォワード）経路です。並列は足し算——2つの経路を通った信号が合流するのですから当然です。

\( \dfrac{C}{R}=\dfrac{1}{1+j\omega T_2}+\dfrac{T_1}{T_2}\cdot\dfrac{j\omega T_2}{1+j\omega T_2} \)

2つの経路の和
並列経路は加算点で合流する

\( \phantom{\dfrac{C}{R}}=\dfrac{1+j\omega T_1}{1+j\omega T_2} \)

整理
分子の T₂ が約分される

平成30年度機械A問題13、内側ループと全体の伝達関数を示し正解は選択肢4 — C/R＝(1＋jωT₁)/(1＋jωT₂)なので（4）です。

答え正解は (4) (1＋jωT₁)/(1＋jωT₂)です。分母と分子が同じ形で、時定数だけが違う——位相進み・遅れ要素と呼ばれる重要な形になります。

この伝達関数は何をする回路か

(1＋jωT₁)/(1＋jωT₂) という形は、T₁ と T₂ の大小で性質が変わります。

	T₁ ＞ T₂	T₁ ＜ T₂
名称	位相進み要素	位相遅れ要素
位相	進む	遅れる
高周波でのゲイン	T₁/T₂（＞1）	T₁/T₂（＜1）
用途	★安定性の改善（位相余裕を増やす）	定常特性の改善（低周波ゲインを稼ぐ）

位相進み補償は、遅れて不安定になりがちな制御系に位相の余裕を与えます——微分動作に近い働き。位相遅れ補償は低周波のゲインを上げて定常偏差を減らします——積分動作に近い働きです。

ω→0 では両方とも1、ω→∞ では T₁/T₂——低周波と高周波で異なるゲインをもつのが特徴です。その間の周波数で位相が動く——そこを狙って制御系に組み込むわけです。

極限で検算する

選択肢を絞るには、ω→0 と ω→∞ の極限を見るのが速い方法です。計算しなくても答えが絞れることがあります。

選択肢	ω→0	妥当か
(1) (T₁＋jω)/(T₂＋jω)	T₁/T₂	—
(3) jωT₁/(1＋jωT₂)	0	★直流が通らないのはおかしい
(4)（正解）	1	妥当

ω→0（直流）では、内側のループが 1/(1＋0)＝1——並列経路のほうは jωT₂ の項があるので0。だから全体は1 になるはずです。

(3)は ω→0 で0 になってしまうので、この時点で誤りだと分かります。極限値を確かめる習慣をつけておくと、計算ミスにも気づけます。

⏱️ 本番での進め方
① 内側のループから片づける。1/(jωT₂) の単位帰還は 1/(1＋jωT₂)。
② 外側は並列経路なので足し算。
③ 通分して整理すると (1＋jωT₁)/(1＋jωT₂)。
④ ω→0 で1 になるかを確認。ならない選択肢は落ちる。

💡 覚え方
「内側から順に、直列は掛け算・並列は足し算・帰還は G/(1＋GH)」——この3つですべて解けます。そして「積分を単位帰還で囲むと一次遅れ」——覚えておくと計算が速くなる形です。

内側ループ1/(1+jωT2)から全体(1+jωT1)/(1+jωT2)へ整理する三段階の計算 — 最終式は分子にT₁、分母にT₂が現れます。

周波数伝達関数という考え方

本問の伝達関数には jω が現れます。これは「正弦波を入れたら、振幅と位相がどう変わるか」を表す量——周波数伝達関数と呼ばれます。

表し方	変数	意味	使う場面
伝達関数 G(s)	s（ラプラス変換）	系の一般的な特性	過渡応答・安定判別
周波数伝達関数 G(jω)	jω	正弦波に対する応答	★ボード線図・ベクトル軌跡

G(s) の s に jω を代入したものが G(jω)——別物ではありません。電験3種では jω の形で出題されることが多いので、複素数として扱えるのが利点です。

|G(jω)| が振幅比（ゲイン）、∠G(jω) が位相差——交流回路のインピーダンスとまったく同じ扱いです。理論科目で身につけた複素数の計算がそのまま使えるのは大きな強みになります。

本問の (1＋jωT₁)/(1＋jωT₂) も、分子と分母それぞれの大きさと偏角を求めれば、ゲインと位相が出ます——ω＝0 で1（0 dB・0°）、ω→∞ で T₁/T₂。その間の変化が、この要素の働きを決めているのです。

ボード線図で見るとどうなるか

(1＋jωT₁)/(1＋jωT₂) のボード線図は、2つの折れ点をもつ形になります。

角周波数	ゲイン	何が起きているか
ω ≪ 1/T₁, 1/T₂	0 dB	分子も分母も1
2つの折れ点の間	±20 dB/dec で変化	片方だけが効いている
ω ≫ 両方	20log(T₁/T₂) dB（一定）	分子分母がともに jω に比例