照明13【電験3種 機械】円板光源による水平面照度・輝度と廊下の光束法平均照度！平成29年度 B問題17 完全解説

今回は平成29年度 機械科目 B問題17を解説します。均等拡散面とみなせる半径0.3mの円板光源について、床面B点の水平面照度と輝度の組合せ(a)、廊下に等間隔配置したときの光束法による平均照度(b)を求める問題です。

円板光源の鉛直角θ方向の光度はI_θ＝I₀cosθ。B点の水平面照度はE_h＝(I₀/OB²)cos²θで求まります。完全拡散面光源は見る角度によらず輝度が一定という性質を使うと、輝度LはA点直下から見てもB点から見てもL＝I₀/S（Sは円板の面積）で同じです。廊下の平均照度は光束法の公式E＝FMU/Aで求めます。

平成29年度 機械科目 B問題17：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【照明】 平成29年度 B問題17

　均等拡散面とみなせる半径0.3mの円板光源がある．円板光源の厚さは無視できるものとし，円板光源の片面のみが発光する．円板光源中心における法線方向の光度I₀は2000cdであり，鉛直角θ方向の光度I_θはI_θ＝I₀cosθで与えられる．また，円板光源の全光束F〔lm〕はF＝πI₀で与えられるものとする．次の(a)及び(b)の問に答えよ．

（a）図1に示すように，この円板光源を部屋の天井に取り付け，床面を照らす方向で部屋の照明を行った．床面B点における水平面照度の値〔lx〕とB点から円板光源の中心を見たときの輝度の値〔cd/m²〕として，最も近い値の組合せを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ．ただし，この部屋にはこの円板光源以外に光源はなく，天井，床，壁など，周囲からの反射光の影響はないものとする．

　図1：円板光源（半径0.3m，光度I₀＝2000cd，光度I_θ＝I₀cosθ）が天井に取り付けられ，鉛直下方の床のA点から水平に2.8m離れたB点を照らす。天井から床までの高さは2.8m。

（b）次に，図2に示すように，建物内を真っすぐ長く延びる廊下を考える．この廊下の天井には上記円板光源が等間隔で連続的に取り付けられ，照明に供されている．廊下の長さは円板光源の取り付け間隔に比して十分大きいものとする．廊下の床面に対する照明率を0.3，円板光源の保守率を0.7としたとき，廊下床面の平均照度の値〔lx〕として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ．

　図2：上面図では円板光源3個が0.9m間隔で並ぶ。側面図では円板光源の取り付け高さ2.8m，光源間隔3.6m×2。正面図では天井高さ2.8m，廊下幅1.8m。

	水平面照度〔lx〕	輝度〔cd/m2〕
(1)	64	5000
(2)	64	7080
(3)	90	1060
(4)	90	1770
(5)	255	7080

（1）102　（2）204　（3）262　（4）415　（5）2261〔lx〕

出題のポイント：円板光源の照度・輝度・平均照度

B点の水平面照度では、余弦配光によるcosθと水平面への変換によるcosθを合わせてcos²θを使います。輝度は均等拡散面なので観察角度によらず一定で、廊下の平均照度は1灯分の分担面積を用いる光束法で求めます。

ポイント解説：3つの測光量を別々の式で計算する

円板光源の鉛直角θ方向の光度はI_θ＝I₀cosθ。床面B点の水平面照度は、余弦配光の式に水平面変換のcosθをもう一度掛けたE_h＝(I₀/OB²)cos²θの形になります。

円板光源は完全拡散面光源なので、見る角度によらず輝度は一定です。廊下の平均照度は光束法E＝FMU/A（Aは1個当たりの分担床面積）で求めます。

問題の解説：(a)は（2）、(b)も（2）

STEP1　（a）B点までの距離と角度を求める

天井高さ2.8m、A-B間水平距離2.8mより、$$OB=\sqrt{2.8^2+2.8^2}=\sqrt{15.68}\ [\text{m}]$$

\(\cos\theta=2.8/\sqrt{15.68}\) なので \(\cos^2\theta=7.84/15.68=0.5\)。

STEP2　（a）水平面照度E_hを求める

$$E_h=\frac{I_0}{OB^2}\cos^2\theta=\frac{2000}{15.68}\times0.5\fallingdotseq63.8\fallingdotseq64\ [\text{lx}]$$

STEP3　（a）輝度Lを求める

完全拡散光源のため、B点から見た輝度はA点直下から見た輝度と等しく、$$L=\frac{I_0}{S}=\frac{2000}{\pi\times0.3^2}\fallingdotseq7074\fallingdotseq7080\ [\text{cd/m}^2]$$

水平面照度64lx・輝度7080cd/m²の組合せは(a)-(2)です。

STEP4　（b）光束法で廊下の平均照度を求める

円板光源1個の全光束はF＝πI₀＝2000π lm。分担床面積は間隔3.6m×廊下幅1.8m＝6.48m²。

$$E=\frac{FMU}{A}=\frac{2000\pi\times0.7\times0.3}{6.48}\fallingdotseq203.6\fallingdotseq204\ [\text{lx}]$$

最も近いのは(b)-(2) 204です。

答え：(a)-(2)，(b)-(2)

まとめ

OB	√15.68 m
Eh	≒64lx
L	≒7080cd/m²
(a)	(2)
F=πI0	2000π lm
廊下平均照度E	≒204lx
(b)	(2)
答え	(a)-(2)，(b)-(2)

▼あわせて解きたい関連問題
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