パワエレ2【電験3種 機械】単相半波ダイオード整流(R-L負荷)の穴埋めと平均電圧！令和3年 B問題16 完全解説

今回は令和3年度 機械科目 B問題16を解説します。抵抗RとリアクトルLを直列にした負荷の単相半波ダイオード整流回路について、波形の穴埋め(a)と平均電圧の計算(b)を問う問題です。

Lの磁気エネルギーのため、電流は v(t)＝0 を過ぎても ωt＝π+β まで流れ続けます。平均電圧は V_d＝(√2V/2π)(1+cosβ) で求めます。

令和3年度 機械科目 B問題16：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【パワーエレクトロニクス】 令和3年度 B問題16

　次の文章は，単相半波ダイオード整流回路に関する記述である。

　抵抗RとリアクトルLとを直列接続した負荷に電力を供給する単相半波ダイオード整流回路を図1に示す。また図1に示した回路の交流電源の電圧波形 v(t) を破線で，抵抗Rの電圧波形 v_R(t) を実線で図2に示す。ただし，ダイオードDの電圧降下及びリアクトルLの抵抗は無視する。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

　なお，必要であれば次の計算結果を利用してよい。　∫₀^α sinθ dθ ＝ 1−cosα　，　∫₀^α cosθ dθ ＝ sinα

（a）以下の記述中の空白箇所（ア）〜（エ）に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

　図1の電源電圧 v(t)>0 の期間においてダイオードDは順方向バイアスとなり導通する。v(t) と v_R(t) が等しくなる電源電圧 v(t) の位相を ωt＝θ_m とすると，出力電流 i_d(t) が増加する電源電圧の位相 ωt が 0<ωt<θ_m の期間においては (ア)，ωt＝θ_m 以降については (イ) となる。出力電流 i_d(t) は電源電圧 v(t) が負となっても v(t)＝0 の点よりも ωt＝β に相当する時間だけ長く流れ続ける。すなわち，Lの磁気エネルギーが (ウ) となる ωt＝π+β で出力電流 i_d が0となる。出力電圧 v_d(t) の平均値 V_d は電源電圧 v(t) を 0〜(エ) の区間で積分して一周期である 2π で除して計算でき，このときLの電圧 v_L(t) を同区間で積分すれば0となるので，V_d は抵抗Rの電圧 v_R(t) の平均値 V_R に等しくなる。

	（ア）	（イ）	（ウ）	（エ）
(1)	vL(t)>0	vL(t)<0	0	π+β
(2)	vL(t)<0	vL(t)>0	0	π+β
(3)	vL(t)>0	vL(t)<0	最大	π+β
(4)	vL(t)<0	vL(t)>0	最大	β
(5)	vL(t)>0	vL(t)<0	0	β

（b）小問（a）において，電源電圧の実効値100〔V〕，β＝π/6 のときの出力電圧 v_d(t) の平均値 V_d〔V〕として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

（1）3　（2）20　（3）42　（4）45　（5）90〔V〕

出題のポイント：電流の増減とリアクトル電圧の符号

R-L負荷では、リアクトルの磁気エネルギーによって電流が急変できないため、電源電圧が0になるωt＝πを過ぎてもダイオード電流は流れ続けます。v(t)＝vR(t)となるθmまではvL＝v－vR＞0で電流が増加し、その後はvL＜0となって電流が減少します。ωt＝π＋βで電流とLの磁気エネルギーが0になり、導通が終了します。したがって平均出力電圧は0からπ＋βまでの電源電圧を積分して求めます。

ポイント解説：導通区間0〜π+βを積分する

電源電圧 v(t)>0 でダイオードが導通し電流が流れます。v(t) と v_R(t)（＝R·i_d）が一致する ωt＝θ_m まではLに正の電圧がかかって電流が増加（v_L>0）、θ_m 以降は電流が減少（v_L<0）します。

Lに蓄えた磁気エネルギーが0になる ωt＝π+β まで電流が流れ続けます。平均電圧は \(V_d=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{\pi+\beta}\sqrt2 V\sin\theta\,d\theta=\dfrac{\sqrt2 V}{2\pi}(1+\cos\beta)\) です。

問題の解説：(a)組合せ1、(b)最も近い42V

STEP1　（ア）（イ）v_L の正負を判定する

電流が増加する 0〜θ_m では \(v_L=L\dfrac{di_d}{dt}\gt 0\)（ア）、電流が減少する θ_m 以降では \(v_L\lt 0\)（イ）となります。

STEP2　（ウ）（エ）電流が0になる条件と積分区間

Lの磁気エネルギーが0（ウ）になる ωt＝π+β で電流が0。平均値は電源電圧を 0〜π+β（エ）で積分します。よって組合せは(a)-(1)。

STEP3　（b）平均電圧を数値計算する

$$V_d=\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi+\beta}\sqrt2 V\sin\theta\,d\theta=\frac{\sqrt2 V}{2\pi}\{1-\cos(\pi+\beta)\}=\frac{\sqrt2 V}{2\pi}(1+\cos\beta)$$

V＝100〔V〕、β＝π/6 を代入すると、$$V_d=\frac{\sqrt2\times100}{2\pi}\left(1+\cos\frac{\pi}{6}\right)=\frac{50\sqrt2}{\pi}\left(1+\frac{\sqrt3}{2}\right)\fallingdotseq42.0\ [\text{V}]$$

最も近いのは(b)-(3) 42です。

答え：(a)-(1)，(b)-(3)

まとめ

（ア）	v_L(t)＞0
（イ）	v_L(t)＜0
（ウ）	0
（エ）	π+β
（b）Vd	≒42.0V
答え	(a)-(1)，(b)-(3)

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