同期機24【電験3種機械】同期電動機の誘導起電力をベクトル図で！令和6年上期 A問題6 完全解説

2026年7月5日2026年8月8日

電験3種機械科目同期機令和6年度上期 A問題6 電圧と電流のベクトル和！誘導起電力は何V？

今回は令和6年度上期機械科目 A問題6を解説します。力率1で運転する三相同期電動機の1相の誘導起電力を、ベクトル図から求める問題です。

力率1では \(E=\sqrt{V^2+(x_sI)^2}\) の直角三角形になります。Y結線なので相電圧に直すのを忘れずに。

問題文と選択肢

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和6年度上期第三種電気主任技術者試験」機械科目 A問題6

　線間電圧 V が360 V，電機子電流 I が20 A，力率 cosθ が1.0で運転されている三相同期電動機がある。この電動機の電機子巻線はY結線，一相の同期リアクタンス x_s は6 Ωである。巻線抵抗の電圧降下は無視するものとし，この運転状態における一相の誘導起電力 E [V]として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)　130　(2)　220　(3)　240　(4)　370　(5)　380

出題のポイント：線間電圧をそのまま使わない

本問の等価回路は「1相分」です。ところが与えられている電圧は「線間電圧」360 V——この食い違いを最初に解消しないと、答えが √3 倍ずれます。

結線	相電圧と線間電圧	相電流と線電流
Y（星形）結線	\( V_{\ell}=\sqrt{3}\,V_p \)（線間が √3 倍）	等しい
Δ（三角）結線	等しい	\( I_{\ell}=\sqrt{3}\,I_p \)（線電流が √3 倍）

問題文に「電機子巻線はY結線」と明記されているのは、この換算をせよという合図です。Y結線なら電流はそのまま、電圧だけ √3 で割る——ここを機械的に処理します。

力率1のときだけは、両者の区別が計算結果に出てきません。\( \dot{V} \) と \( \dot{I} \) が同相なら \( jx_s\dot{I} \) は \( \dot{V} \) と直角——符号がプラスでもマイナスでも、直角三角形の斜辺の長さは同じだからです。だから力率1の問題は、三平方の定理ひとつで片づきます。

Y結線の線間電圧360ボルトを相電圧207.8ボルトへ変換しリアクタンス降下120ボルトを求める図 — 線間電圧を相電圧へ直してから、一相分のベクトル計算を行います。

相電圧に直す

Y結線の相電圧

\( V_p=\dfrac{V_{\ell}}{\sqrt{3}}=\dfrac{360}{\sqrt{3}}=120\sqrt{3}\fallingdotseq 207.8\ [\mathrm{V}] \)

\( 360/\sqrt{3}=120\sqrt{3} \) と書いておくと、2乗するときに \( 43200 \) と割り切れて計算が楽になります。

√3 で割った値を小数にせず \( 120\sqrt{3} \) の形で持っておくのがコツです。2乗すれば \( 120^{2}\times3=43200 \) ときれいな整数になり、電卓のない試験で有効数字に悩まずに済みます。

リアクタンス降下と三平方

\( x_s I = 6\times20 = 120\ [\mathrm{V}] \)

降下
同期リアクタンス×電機子電流

\( E=\sqrt{V_p^{2}+(x_s I)^{2}} \)

力率1
同相なので直角三角形になる

\( \phantom{E}=\sqrt{43200+14400} \)

代入
43200＝(120√3)²、14400＝120²

\( \phantom{E}=\sqrt{57600} \)

加算
足し合わせる

\( \phantom{E}=240\ [\mathrm{V}] \)

平方根
240²＝57600 でちょうど割り切れる

令和6年上期機械A問題6で相電圧207.8ボルトとリアクタンス降下120ボルトから誘導起電力240ボルトを求める図 — 直角三角形からE＝240 Vとなり、正解は(3)です。

答え正解は (3) 240 Vです。ぴったり240という切りのよい値になるのは、この問題が「正しい道筋なら整数で終わる」よう作られているからです。

途中で平方根が汚くなったら、どこかで換算を間違えている——これは電験の計算問題全般で使える自己チェックです。本問なら √57600＝240 と割り切れた時点で、線間→相の換算が正しかったと確認できます。

選択肢の作られ方を読む

⚠️ よくある間違い
(5) 380 Vは、線間電圧 360 V をそのまま相電圧として計算した値（\( \sqrt{360^{2}+120^{2}}\fallingdotseq 379.5 \)）です。本問で最も踏みやすい罠——「1相分の等価回路」という言葉を読み飛ばすと、ここに吸い込まれます。
(2) 220 Vは相電圧 207.8 V そのものに近い値で、リアクタンス降下を足し忘れたときの答えです。(1) 130 Vはリアクタンス降下 120 V そのもの——何を問われているかを取り違えたときに選んでしまいます。

正解の240は、相電圧207.8より大きく、線間電圧360より小さい——この位置関係を頭に入れておけば、桁違いの誤りは即座に排除できます。

⏱️ 本番での進め方
①「Y結線」「1相分」の語を見たら、真っ先に電圧を √3 で割る。
② 360/√3 は 120√3 と書く。小数にしない。
③ (120√3)²＝43200、120²＝14400、合計57600。
④ √57600＝240。割り切れたら道筋が正しい合図。

💡 覚え方
「線間で来たら、まず √3 で割る」——この一手を反射にしてしまえば、三相の計算問題の大半は片づきます。逆にY結線の電流は割らない（線電流＝相電流）——Y は電圧だけ、Δ は電流だけと対で覚えると混同しません。

出題履歴：相電圧で与えられる年もある

まったく同じ計算が、令和2年 A問題5でも出題されています（同期機25：同期電動機の等価回路から誘導起電力）。そちらは相電圧200 V が直接与えられており、√3 の換算が不要です。

つまり出題側は「√3 の換算ができるか」を、年によって入れたり外したりして試しているわけです。本問のように線間で与えられた年のほうが正答率は下がります——電圧の種類を確認する習慣が、そのまま得点差になります。

同期電動機で誘導起電力が端子電圧より遅れ、リアクタンス降下を加えると端子電圧になるベクトル三角形 — 電動機ではV＝E＋jXsIとなり、EはVより遅れます。

同じ三角形から負荷角も読み取れる

本問で描いた直角三角形には、もう一つの情報が入っています。\( \dot{V} \) と \( \dot{E} \) のなす角——つまり負荷角 δ です。

力率1のときの負荷角

\( \sin\delta=\dfrac{x_s I}{E}\quad\text{または}\quad \tan\delta=\dfrac{x_s I}{V_p} \)

直角三角形の辺の比を取るだけ——新しい公式ではありません。

\( \sin\delta=\dfrac{120}{240}=0.5 \)

正弦
対辺÷斜辺

\( \delta=30^{\circ} \)

負荷角
sin30°＝0.5

\( \tan\delta=\dfrac{120}{120\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \)

正接で検算
対辺÷隣辺

\( \delta=30^{\circ} \)

一致
tan30°＝1/√3。同じ値が出る

負荷角30°は、脱出トルクを生む90°に対してまだ十分な余裕がある状態です。トルクは \( \sin\delta \) に比例するので、いまの出力は最大トルクの半分（sin30°＝0.5）——あと2倍の負荷までは同期を保って耐えられると読めます。

負荷角 δ	sin δ	最大トルクに対する割合	状態
30°（本問）	0.5	50 %	余裕のある通常運転
60°	0.866	87 %	かなり重い負荷
90°	1.0	100 %	脱出トルク。これを超えると同期外れ