電験3種 機械科目 平成29年 A問題8（変圧器）
まずは、問題文と選択肢を確認しましょう。
定格容量 \( 50 \text{ kV・A} \) の単相変圧器において、力率 \( 1 \) の負荷で全負荷運転したときに、銅損が \( 1000 \text{ W} \)、鉄損が \( 250 \text{ W} \) となった。力率 \( 1 \) を維持したまま負荷を調整し、最大効率となる条件で運転した。銅損と鉄損以外の損失は無視できるものとし、この最大効率となる条件での効率の値 \( [\%] \) として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) 95.2 (2) 96.0 (3) 97.6 (4) 98.0 (5) 99.0
変圧器の最大効率条件とは？（基礎知識）
この問題を解くための基礎知識として、変圧器の損失と最大効率の条件について整理しましょう。
変圧器の2つの損失（鉄損と銅損）
変圧器の損失には、大きく分けて以下の2種類があります。
- 鉄損 \( (P_i) \)：鉄心の損失です。負荷に関係なく一定という特徴があります。
- 銅損 \( (P_c) \)：巻線の抵抗による損失です。負荷電流（負荷率）の2乗に比例して変化します。
効率が最大になる重要な条件
変圧器の効率が最大となるのは、以下の条件を満たすときです。これは電験3種で頻出の非常に重要な条件です。
最大効率条件：銅損 ＝ 鉄損
$$ P_c = P_i $$
解法の手順をステップバイステップで解説
それでは、具体的な計算手順をステップごとに見ていきましょう。
ステップ1：与えられた条件を整理する
問題文から、以下の条件が与えられています。
- 定格容量：\( P_n = 50 \text{ kV・A} = 50{,}000 \text{ VA} \)
- 力率：\( \cos \theta = 1 \)
- 全負荷時（負荷率 \( a = 1 \)）の銅損：\( P_{c0} = 1{,}000 \text{ W} \)
- 鉄損（一定）：\( P_i = 250 \text{ W} \)
ステップ2：最大効率となる条件を適用する
基礎知識で確認した通り、最大効率となる条件は「銅損 ＝ 鉄損」です。つまり、最大効率時の銅損を \( P_c \) とすると、\( P_c = P_i \) となります。
ステップ3：最大効率時の負荷率を計算する
銅損は負荷率 \( a \)（0〜1の値）の2乗に比例します。式で表すと以下のようになります。
$$ P_c = a^2 \times P_{c0} $$
最大効率条件（\( P_c = P_i \)）より、以下の式が成り立ちます。
$$ a^2 \times P_{c0} = P_i $$
数値を代入して、負荷率 \( a \) を求めます。
$$ a^2 \times 1{,}000 = 250 $$
$$ a^2 = \frac{250}{1{,}000} = \frac{1}{4} $$
$$ a = \frac{1}{2} = 0.5 $$
したがって、最大効率となるのは負荷率50%のときであることがわかります。
ステップ4：最大効率時の出力を計算する
次に、最大効率時の出力 \( P \) を計算します。出力の公式は以下の通りです。
$$ P = a \times P_n \times \cos \theta $$
求めた負荷率 \( a = 0.5 \) と与えられた数値を代入します。
$$ P = 0.5 \times 50{,}000 \times 1 = 25{,}000 \text{ W} = 25 \text{ kW} $$
ステップ5：最大効率時の銅損を確認する
念のため、最大効率時の銅損 \( P_c \) を計算して確認します。
$$ P_c = a^2 \times P_{c0} = (0.5)^2 \times 1{,}000 = 0.25 \times 1{,}000 = 250 \text{ W} $$
最大効率条件である \( P_c = P_i = 250 \text{ W} \) と一致していることが確認できました。
ステップ6：最大効率を計算する
最後に、効率 \( \eta \) の公式を用いて最大効率を計算します。
$$ \eta = \frac{\text{出力}}{\text{出力} + \text{損失}} \times 100 = \frac{P}{P + P_c + P_i} \times 100 \text{ [%]} $$
数値を代入します。
$$ \eta = \frac{25{,}000}{25{,}000 + 250 + 250} \times 100 = \frac{25{,}000}{25{,}500} \times 100 \approx 98.0 \text{ %} $$
したがって、正解は (4) 98.0 となります。
学習のポイントとまとめ
重要公式の振り返り
変圧器の効率計算において、以下の公式は確実に覚えておきましょう。
- 効率： \( \eta = \dfrac{P}{P + \text{損失}} \times 100 \text{ [%]} \)
- 銅損： \( P_c = a^2 \times P_{c0} \)（\( a \)：負荷率）
- 鉄損： \( P_i = \text{一定} \)
- 最大効率条件： \( P_c = P_i \)
- 出力： \( P = a \times P_n \times \cos \theta \)
効率と負荷率の関係
変圧器の効率と負荷率の関係をグラフにすると、山なりの曲線になります。負荷率が小さすぎる場合は鉄損が支配的になり、大きすぎる場合は銅損が支配的になるため、どちらも効率が低下します。この問題では、中間の負荷率 \( a = 0.5 \)（50%）のときに、銅損と鉄損が等しくなり、約98%という最大効率を達成します。
計算のコツ
最大効率を求める問題では、以下の手順で計算を進めるとスムーズです。
- まず、\( P_c = P_i \) の条件から負荷率 \( a \) を求める。
- 次に、求めた負荷率を使って出力 \( P \) を計算する。
- 最後に、効率の公式に代入して答えを出す。
この手順をマスターして、確実に得点できるようにしておきましょう！
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