電験3種（第三種電気主任技術者）の機械科目では、変圧器の「電圧変動率」に関する計算問題が頻出です。本記事では、令和3年（2021年）A問題9について、変圧器の等価回路や公式の基礎から、計算のステップ、さらに「なぜリアクタンス成分が消えるのか？」といった補足事項まで、初心者にも分かりやすく詳細に解説します。
問題文：変圧器の電圧変動率を求める
まずは、実際の問題文と選択肢を確認しましょう。
定格容量 \( 500 \text{ kV}\cdot\text{A} \) の三相変圧器がある。負荷力率が \( 1.0 \) のときの全負荷銅損が \( 6 \text{ kW} \) であった。このときの電圧変動率の値 \( [\%] \) として、最も近いものを次の (1)～(5) のうちから一つ選べ。ただし、鉄損及び励磁電流は小さく無視できるものとし、簡単のために用いられる電圧変動率の近似式を利用して解答すること。
- (1) 0.7
- (2) 1.0
- (3) 1.2
- (4) 2.5
- (5) 3.6
解答・解説：電圧変動率の近似式を用いた計算手順
正解は (3) 1.2 です。どのようにこの答えを導き出すのか、基礎知識と公式を確認しながら順を追って解説します。
基礎知識：電圧変動率と変圧器の等価回路
電圧変動率とは、無負荷時の二次端子電圧と、負荷時の二次端子電圧の差を、負荷時の電圧で割った百分率のことです。変圧器の電圧降下の程度を表す重要な指標となります。
電圧変動率が生じる主な原因は2つあります。1つ目は銅損による抵抗降下で、巻線の抵抗成分 \( R \) に電流が流れることで生じる電圧降下です。2つ目は漏れリアクタンスによるリアクタンス降下で、磁束の漏れに起因するリアクタンス成分 \( X \) による電圧降下です。電圧変動率が小さいほど、負荷変動に対する電圧の安定性が良いことを示します。
三相変圧器の等価回路（1相分）を考えると、以下の要素が関係します。
| 記号 | 名称 | 説明 |
|---|---|---|
| \( R \) | 巻線抵抗 | 銅損（\( P_{cn} \)）の原因。銅損 \( P_{cn} = 3 I_2^2 R_2 \) |
| \( X \) | 漏れリアクタンス | 磁束漏れの原因 |
| \( I \) | 電流 | 各巻線に流れる電流 |
| \( V \) | 電圧 | 各端子の電圧 |
| \( P_{cn} \) | 銅損 | 全負荷時の銅損 [kW] |
使用する公式
この問題を解くためには、以下の2つの公式を使用します。
① 百分率抵抗降下 \( p \) [%]
$$ p = \frac{P_{cn}}{S_n} \times 100 \text{ } [\%] $$
ここで、\( P_{cn} \) は銅損 [kW]、\( S_n \) は定格容量 [kV·A] です。
② 電圧変動率 \( \varepsilon \) [%]（近似式）
$$ \varepsilon = p \cos\theta + q \sin\theta \text{ } [\%] $$
ここで、\( \theta \) は負荷の力率角、\( p \) は百分率抵抗降下、\( q \) は百分率リアクタンス降下です。
与えられた条件の整理
問題文から、以下の条件が与えられています。
| 条件 | 値 |
|---|---|
| 定格容量 \( S_n \) | \( 500 \text{ kV}\cdot\text{A} \) |
| 全負荷銅損 \( P_{cn} \) | \( 6 \text{ kW} \) |
| 負荷力率 \( \cos\theta \) | \( 1.0 \) |
| 鉄損・励磁電流 | 無視できるものとする |
計算ステップ1：百分率抵抗降下 p を求める
まずは、百分率抵抗降下 \( p \) を求めます。公式①に定格容量と銅損の値を代入します。
$$ p = \frac{P_{cn}}{S_n} \times 100 = \frac{6}{500} \times 100 = 1.2 \text{ } [\%] $$
銅損 6 kW を定格容量 500 kV·A で割り、100 を掛けることで、百分率抵抗降下 \( p = 1.2\% \) が求まります。
計算ステップ2：電圧変動率 ε を計算する
次に、電圧変動率の近似式（公式②）を用いて \( \varepsilon \) を計算します。ここでポイントになるのが「力率 \( \cos\theta = 1.0 \)」という条件です。
力率が \( 1.0 \) ということは、力率角 \( \theta = 0^\circ \) となります。よって、正弦成分は \( \sin\theta = \sin 0^\circ = 0 \) となります。これを公式②に代入すると、
$$ \varepsilon = p \cos\theta + q \sin\theta = 1.2 \times 1.0 + q \times 0 = 1.2 + 0 = 1.2 \text{ } [\%] $$
計算の結果、電圧変動率は 1.2% となり、正解は (3) となります。
補足説明：なぜリアクタンス成分や鉄損を無視できるのか？
問題文の条件や計算の過程で「無視された」成分について、その理由を深く理解しておくことで、応用力が身につきます。
① なぜ鉄損を無視できるのか？
鉄損は主にヒステリシス損と渦電流損からなり、負荷電流にほとんど依存しません。電源電圧と周波数がほぼ一定であれば、鉄損はほぼ一定値となります。そのため、電圧降下（電圧変動）に与える影響は極めて小さく、本問のように「無視できる」として扱うことが一般的です。
② 力率1.0とはどういう意味か？
負荷が「純抵抗性」で、電流と電圧が同相であることを意味します。このとき、電流と電圧のベクトルは同じ方向を向いており、力率角 \( \theta = 0^\circ \) となります。したがって、電圧降下は巻線抵抗による成分（抵抗降下）のみとなります。
③ なぜリアクタンス成分 q が影響しないのか？
電流と電圧が同相（\( \theta = 0^\circ \)）のため、\( q \sin\theta \) の項がゼロになります。したがって、漏れリアクタンスによる降下は生じません。複素平面（jX 軸と R 軸）で考えると、電流ベクトルが R 軸方向（実軸方向）を向いているため、jX 軸方向（虚軸方向）への成分が存在しないことと同義です。
④ 電圧変動率の実用上の意義
電圧変動率が大きいと、負荷変動により電圧が大きく低下し、機器の性能や寿命に悪影響を与えます。特に精密機器や電動機では、電圧の低下が動作不良や過熱の原因となります。そのため、変圧器の設計においては電圧変動率を規格値内に抑えることが重要です。一般的に、電力用変圧器の電圧変動率は数%以下に設計されています。
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