電験3種（第三種電気主任技術者試験）の機械科目において、「変圧器の効率と損失」は非常に重要なテーマです。今回は、平成23年（2011年）A問題 問7を題材に、変圧器の効率計算と損失（鉄損・銅損）の関係について、初心者の方にも分かりやすく詳細に解説します。
スライド画像だけでなく、テキストだけでも理解できるように丁寧に数式を追って説明していますので、ぜひ最後まで読んで学習に役立ててください。
【電験3種 機械】平成23年 A問題7「変圧器の効率と損失」の問題文
まずは、問題文と選択肢を確認しましょう。
次の文章は、変圧器の損失と効率に関する記述である。
電圧一定で出力を変化させても、出力一定で電圧を変化させても、変圧器の効率の最大は鉄損と銅損とが等しいときに生じる。ただし、変圧器の損失は鉄損と銅損だけとし、負荷の力率は一定とする。
a. 出力 \( 1000~[\mathrm{W}] \) で運転している単相変圧器において鉄損が \( 40.0~[\mathrm{W}] \)、銅損が \( 40.0~[\mathrm{W}] \) 発生している場合、変圧器の効率は (ア) [%] である。
b. 出力電圧一定で出力を \( 500~[\mathrm{W}] \) に下げた場合の鉄損は \( 40.0~[\mathrm{W}] \)、銅損は (イ) [W]、効率は (ウ) [%] となる。
c. 出力電圧が 20 [%] 低下した状態で、出力 \( 1000~[\mathrm{W}] \) の運転をしたとすると鉄損は \( 25.6~[\mathrm{W}] \)、銅損は (エ) [W]、効率は (オ) [%] となる。ただし、鉄損は電圧の2乗に比例するものとする。
上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)、(ウ)、(エ)及び(オ)に当てはまる最も近い数値の組合せを、次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
選択肢
| (ア) | (イ) | (ウ) | (エ) | (オ) | |
|---|---|---|---|---|---|
| (1) | 94 | 20.0 | 89 | 61.5 | 91 |
| (2) | 93 | 10.0 | 91 | 62.5 | 92 |
| (3) | 94 | 20.0 | 89 | 63.5 | 91 |
| (4) | 93 | 10.0 | 91 | 50.0 | 93 |
| (5) | 92 | 20.0 | 89 | 61.5 | 91 |
変圧器の効率と損失に関する基本公式
問題の解説に入る前に、変圧器の効率と損失に関する重要な基本公式をおさらいしておきましょう。
1. 変圧器の効率 \( \eta \)
変圧器の効率 \( \eta \) は、出力と損失を用いて以下の式で表されます。
$$\eta = \frac{\text{出力}}{\text{出力} + \text{損失}} \times 100~[\%]$$
2. 損失の内訳
変圧器の損失は、主に「鉄損」と「銅損」の2つからなります。
$$\text{損失} = \text{鉄損} + \text{銅損}$$
- 鉄損（無負荷損）：電圧の2乗に比例します。負荷の大きさ（電流）には依存しません。
- 銅損（負荷損）：電流の2乗に比例します。
3. 最大効率の条件
問題文にもある通り、変圧器の効率が最大となるのは、以下の条件を満たすときです。
$$\text{鉄損} = \text{銅損}$$
【解説】平成23年 A問題7 各設問の解き方
それでは、基本公式を使って(ア)から(オ)までの空欄を求めていきましょう。
解答（ア）：定格運転時の効率
条件aでは、出力 \( 1000~[\mathrm{W}] \)、鉄損 \( 40.0~[\mathrm{W}] \)、銅損 \( 40.0~[\mathrm{W}] \) で運転しています。
効率 \( \eta_1 \) は基本公式に数値を代入して求めます。
$$\eta_1 = \frac{1000}{1000 + 40.0 + 40.0} \times 100 = \frac{1000}{1080} \times 100 \approx 92.59~[\%]$$
最も近い値は選択肢の 93 となります。よって、(ア) は 93 です。
解答（イ）（ウ）：出力が半分になった場合の銅損と効率
条件bでは、出力電圧一定で出力を \( 500~[\mathrm{W}] \) に下げています。出力が \( 1000~[\mathrm{W}] \) から \( 500~[\mathrm{W}] \) と半分になっているため、電圧が一定であれば、電流も半分になります。
【(イ) 銅損の計算】
銅損は「電流の2乗に比例」します。電流が \( \frac{1}{2} \) になるので、銅損は \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \) 倍になります。元の銅損が \( 40.0~[\mathrm{W}] \) なので、
$$\text{銅損} = 40.0 \times \left(\frac{500}{1000}\right)^2 = 40.0 \times \frac{1}{4} = 10.0~[\mathrm{W}]$$
よって、(イ) は 10.0 [W] です。
【(ウ) 効率の計算】
鉄損は電圧一定なので \( 40.0~[\mathrm{W}] \) のままです。出力 \( 500~[\mathrm{W}] \)、鉄損 \( 40.0~[\mathrm{W}] \)、銅損 \( 10.0~[\mathrm{W}] \) を用いて効率 \( \eta_2 \) を計算します。
$$\eta_2 = \frac{500}{500 + 40.0 + 10.0} \times 100 = \frac{500}{550} \times 100 \approx 90.91~[\%]$$
最も近い値は 91 となります。よって、(ウ) は 91 [%] です。
解答（エ）（オ）：電圧低下時の銅損と効率
条件cでは、出力電圧が 20 [%] 低下（元の \( 0.8 \) 倍）した状態で、出力 \( 1000~[\mathrm{W}] \) の運転をします。
【(エ) 銅損の計算】
出力（電力）は \( P = V \times I \times \cos\theta \) です（力率は一定）。出力 \( P \) が \( 1000~[\mathrm{W}] \) で一定のまま、電圧 \( V \) が \( 0.8 \) 倍に低下したため、同じ出力を維持するには電流 \( I \) が増加しなければなりません。
$$\text{電流増加倍率} = \frac{1}{1 – 0.2} = \frac{1}{0.8} = 1.25~\text{倍}$$
銅損は「電流の2乗に比例」するため、電流が \( 1.25 \) 倍になれば銅損は \( 1.25^2 \) 倍になります。
$$\text{銅損} = 40.0 \times 1.25^2 = 40.0 \times 1.5625 = 62.5~[\mathrm{W}]$$
よって、(エ) は 62.5 [W] です。
【(オ) 効率の計算】
問題文より、このときの鉄損は \( 25.6~[\mathrm{W}] \) です。（確認：鉄損は電圧の2乗に比例するため \( 40.0 \times 0.8^2 = 40.0 \times 0.64 = 25.6~[\mathrm{W}] \) となり一致します）
出力 \( 1000~[\mathrm{W}] \)、鉄損 \( 25.6~[\mathrm{W}] \)、銅損 \( 62.5~[\mathrm{W}] \) を用いて効率 \( \eta_3 \) を計算します。
$$\eta_3 = \frac{1000}{1000 + 25.6 + 62.5} \times 100 = \frac{1000}{1088.1} \times 100 \approx 91.90~[\%]$$
最も近い値は 92 となります。よって、(オ) は 92 [%] です。
まとめと正解
ここまで求めた値をまとめると以下のようになります。
| 空欄 | 答え |
|---|---|
| (ア) | 93 [%] |
| (イ) | 10.0 [W] |
| (ウ) | 91 [%] |
| (エ) | 62.5 [W] |
| (オ) | 92 [%] |
この組合せに該当する選択肢は (2) です。
正解：(2)
【重要ポイントのおさらい】
変圧器の問題を解く上で、以下の3つのポイントは確実に覚えておきましょう。
- 銅損は電流の2乗に比例する
- 鉄損は電圧の2乗に比例する
- 効率が最大となるのは、鉄損＝銅損のときである
特に「電圧が変わったときに電流がどうなるか（出力を一定に保つなら電流は反比例する）」という考え方は、(エ)のような応用問題で頻出ですので、しっかりと理解しておきましょう。
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