電験3種の機械科目において、「変圧器」は頻出かつ重要なテーマです。今回は、平成23年（2011年）B問題 問15を取り上げ、百分率インピーダンス降下と電圧変動率の求め方を分かりやすく解説します。二次側定数の一次側換算から、百分率インピーダンス降下・電圧変動率の近似計算まで、手順を追って確認しましょう。
平成23年 機械科目 B問題 問15：問題文と条件の確認
まずは問題文と与えられた定数を確認します。
問題の概要と与えられた定数
図の変圧器について、次の問いに答えよ。定格一次電圧 \( 2000 \, \mathrm{[V]} \)、定格二次電圧 \( 100 \, \mathrm{[V]} \)、定格二次電流 \( 1000 \, \mathrm{[A]} \) の単相変圧器です。ただし、励磁アドミタンスは無視するものとします。
| パラメータ | 記号 | 値 |
|---|---|---|
| 定格一次電圧 | 2000 V | |
| 定格二次電圧 | 100 V | |
| 定格二次電流 | 1000 A | |
| 一次巻線抵抗 | \( r_1 \) | \( 0.2 \, [\Omega] \) |
| 一次漏れリアクタンス | \( x_1 \) | \( 0.6 \, [\Omega] \) |
| 二次巻線抵抗 | \( r_2 \) | \( 0.0005 \, [\Omega] \) |
| 二次漏れリアクタンス | \( x_2 \) | \( 0.0015 \, [\Omega] \) |
(a) 定格負荷、力率1のときの百分率インピーダンス降下 [%] の値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
(1) 2.00 (2) 3.16 (3) 4.00 (4) 33.2 (5) 664
(b) 定格負荷、力率 \( 0.8 \)（遅れ）のときの電圧変動率 [%] の値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
(1) 2.60 (2) 3.00 (3) 27.3 (4) 31.5 (5) 521
解説スライド：等価回路・公式まとめ・ステップ解答
解法の公式まとめ：押さえておくべき4つの式
この問題を解くにあたって、以下の公式を使います。解説スライドの「公式まとめ」セクションに対応しています。
一次側換算の公式
二次側の抵抗・リアクタンスを一次側に換算するには、変圧比 \( a = V_{1n}/V_{2n} \) の2乗を掛けます。
$$r = r_1 + a^2 r_2, \qquad x = x_1 + a^2 x_2$$
定格容量・百分率降下・百分率インピーダンス・電圧変動率の公式
定格容量 \( S_n \) は次式で求めます。
$$S_n = V_{2n} \times I_{2n}$$
百分率抵抗降下 \( p \) と百分率リアクタンス降下 \( q \) は、定格容量と一次定格電圧を用いて次のように計算します。
$$p = \frac{S_n \times r}{10 \times V_{1n}^2}, \qquad q = \frac{S_n \times x}{10 \times V_{1n}^2}$$
百分率インピーダンス降下 \( z \) と電圧変動率 \( \varepsilon \) は次式で求めます。
$$z = \sqrt{p^2 + q^2}$$
$$\varepsilon = p \times \cos\theta + q \times \sin\theta$$
ここで、\( V_{1n} \)：定格一次電圧、\( V_{2n} \)：定格二次電圧、\( I_{2n} \)：定格二次電流、\( S_n \)：定格容量、\( p \)：百分率抵抗降下 [%]、\( q \)：百分率リアクタンス降下 [%]、\( z \)：百分率インピーダンス降下 [%]、\( \varepsilon \)：電圧変動率 [%]、\( \theta \)：力率角（遅れ正）です。
(a) 百分率インピーダンス降下の求め方【ステップ解答】
巻数比（変圧比）を求める
まず変圧比 \( a \) を求めます。
$$a = \frac{V_{1n}}{V_{2n}} = \frac{2000}{100} = 20$$
Step 1：一次側換算抵抗 r を求める
二次巻線抵抗 \( r_2 \) を一次側に換算して、全抵抗 \( r \) を求めます。
$$r = r_1 + a^2 r_2 = 0.2 + (20)^2 \times 0.0005 = 0.2 + 400 \times 0.0005 = 0.2 + 0.2 = 0.4 \, [\Omega]$$
Step 2：一次側換算リアクタンス x を求める
二次漏れリアクタンス \( x_2 \) を一次側に換算して、全漏れリアクタンス \( x \) を求めます。
$$x = x_1 + a^2 x_2 = 0.6 + (20)^2 \times 0.0015 = 0.6 + 400 \times 0.0015 = 0.6 + 0.6 = 1.2 \, [\Omega]$$
Step 3：変圧器の定格容量 Sn を求める
定格容量 \( S_n \) は定格二次電圧と定格二次電流の積です。
$$S_n = V_{2n} \times I_{2n} = 100 \times 1000 \times 10^{-3} = 100 \, \mathrm{[kVA]}$$
Step 4：百分率抵抗降下 p を求める
$$p = \frac{S_n \times r}{10 \times V_{1n}^2} = \frac{100 \times 0.4}{10 \times 2^2} = \frac{40}{40} = 1 \, [\%]$$
Step 5：百分率リアクタンス降下 q を求める
$$q = \frac{S_n \times x}{10 \times V_{1n}^2} = \frac{100 \times 1.2}{10 \times 2^2} = \frac{120}{40} = 3 \, [\%]$$
Step 6：百分率インピーダンス降下 z を求める
$$z = \sqrt{p^2 + q^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \approx 3.162 \, [\%]$$
選択肢と照合すると、最も近い値は (2) 3.16% です。
よくある誤り：換算側と電圧・電流の不一致に注意
この問題で最も陥りやすいミスは、一次側に換算したインピーダンス（\( r=0.4 \, [\Omega] \)、\( x=1.2 \, [\Omega] \)）に対して、二次側の定格電圧（100 V）と定格電流（1000 A）をそのまま代入してしまうことです。この場合、\( p = 4 \, [\%] \)、\( q = 12 \, [\%] \) という誤った値が出てしまいます。公式 \( p = S_n \times r / (10 \times V_{1n}^2) \) を使うことで、換算側の統一を意識せずに正しく計算できます。
(b) 電圧変動率の求め方【力率0.8（遅れ）の場合】
Step 1：sin θ を求める
力率 \( \cos\theta = 0.8 \)（遅れ）のとき、\( \sin\theta \) は次のように求まります。
$$\sin\theta = \sqrt{1 – 0.8^2} = \sqrt{0.36} = 0.6$$
Step 2：電圧変動率 ε を求める
電圧変動率の近似式に \( p = 1 \, [\%] \)、\( q = 3 \, [\%] \) を代入します。
$$\varepsilon = p \times \cos\theta + q \times \sin\theta = 1 \times 0.8 + 3 \times 0.6 = 0.8 + 1.8 = 2.6 \, [\%]$$
選択肢と照合すると、最も近い値は (1) 2.60% です。
まとめ：変圧器の百分率インピーダンスと電圧変動率の計算ポイント
今回の問題で押さえておくべきポイントを整理します。
| ステップ | 内容 | 結果 |
|---|---|---|
| 変圧比 | \( a = V_{1n}/V_{2n} = 2000/100 \) | \( a = 20 \) |
| 一次側換算抵抗 | \( r = r_1 + a^2 r_2 = 0.2 + 400 \times 0.0005 \) | \( r = 0.4 \, [\Omega] \) |
| 一次側換算リアクタンス | \( x = x_1 + a^2 x_2 = 0.6 + 400 \times 0.0015 \) | \( x = 1.2 \, [\Omega] \) |
| 定格容量 | \( S_n = 100 \times 1000 \times 10^{-3} \) | \( S_n = 100 \, \mathrm{[kVA]} \) |
| 百分率抵抗降下 | \( p = S_n r / (10 V_{1n}^2) = 100 \times 0.4 / 40 \) | \( p = 1 \, [\%] \) |
| 百分率リアクタンス降下 | \( q = S_n x / (10 V_{1n}^2) = 100 \times 1.2 / 40 \) | \( q = 3 \, [\%] \) |
| 百分率インピーダンス降下 | \( z = \sqrt{p^2+q^2} = \sqrt{1^2+3^2} \) | \( z \approx 3.16 \, [\%] \) → 答え：(2) |
| 電圧変動率（力率0.8遅れ） | \( \varepsilon = 1 \times 0.8 + 3 \times 0.6 \) | \( \varepsilon = 2.6 \, [\%] \) → 答え：(1) |
変圧器の等価回路と一次/二次換算は、電験3種機械科目で繰り返し出題される重要テーマです。公式 \( p = S_n r / (10 V_{1n}^2) \)、\( q = S_n x / (10 V_{1n}^2) \) を使いこなすことで、換算側の混同を防いで確実に正答できます。百分率インピーダンス降下 \( z = \sqrt{p^2 + q^2} \) と電圧変動率の近似式 \( \varepsilon \approx p\cos\theta + q\sin\theta \) は必ず暗記しておきましょう。
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