自動制御16【電験3種 機械】演算増幅器回路の入出力電圧比を計算！平成24年度 A問題13 完全解説

今回は平成24年度 機械科目 A問題13を解説します。抵抗R1＝10kΩ、帰還抵抗R2＝120kΩを用いた演算増幅器（オペアンプ）回路で、入力電圧V̇1に対する出力電圧V̇2の比を求める問題です。

演算増幅器が理想的（入力インピーダンス無限大、増幅度無限大、出力インピーダンス零）であることを使い、電圧の分圧関係からV̇2/V̇1＝(R1+R2)/R1を導きます。

平成24年度 機械科目 A問題13：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「平成24年度 第三種電気主任技術者試験」機械科目 A問題13

電験3種 機械科目 【自動制御】 平成24年度 A問題13

　図は演算増幅器を使った回路である。入力電圧V̇₁[V]に対する出力電圧V̇₂[V]の比の値として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

　ただし，演算増幅器は理想的（入力インピーダンスは無限大，増幅度は無限大，出力インピーダンスは零）であるとし，入力電圧，出力電圧ともに演算増幅器の動作範囲内であるとする。

（1）-12　（2）-10　（3）10　（4）12　（5）13

出題のポイント：非反転増幅器か反転増幅器か

まず選択肢を見ると、負の値が2つ・正の値が3つ。回路が反転増幅器なら負、非反転増幅器なら正——図の入力がどちらの端子に入っているかで、半分に絞れます。

	反転増幅器	非反転増幅器（本問）
入力の位置	−端子側（抵抗経由）	★＋端子に直接
増幅度	\( -\dfrac{R_2}{R_1} \)	\( 1+\dfrac{R_2}{R_1} \)
符号	負（位相が反転）	正
最小の増幅度	0 に近づけられる	★1 より小さくできない

本問は入力が＋端子（非反転入力）に直接入っているので非反転増幅器——答えは正の値です。これで(1)(2)が落ちます。

理想演算増幅器の2つの性質から導く

公式を覚えていなくても導けます。理想オペアンプの2つの性質を使うだけです。

性質	内容	理由
イマジナリショート	＋端子と−端子の電位が等しい	増幅度が無限大だから
入力電流0	両入力端子に電流が流れ込まない	入力インピーダンスが無限大だから

この2つから、R₁ と R₂ は単なる直列回路になります。−端子には電流が流れ込まないので、出力V₂ から R₂、R₁ を通ってグランドへ流れる電流は同じ——つまり分圧回路です。

なぜ非反転増幅器は1 より小さくできないのか

増幅度が 1＋R₂/R₁ という形なので、R₂ をどんなに小さくしても1 を下回れません。これは回路の構造から来る性質です。

R₂＝0（出力と−端子を直結）にすると増幅度は1——ボルテージフォロワと呼ばれる回路になります。

回路	増幅度	用途
ボルテージフォロワ	1	★インピーダンス変換（バッファ）
非反転増幅器	1 より大きい	信号の増幅
反転増幅器	0 より大きい任意の値（負）	増幅・減衰・加算

増幅度1 の回路に何の意味があるのか——インピーダンス変換です。入力インピーダンスは無限大、出力インピーダンスは0——弱い信号源から、重い負荷へ電圧をそのまま渡せるのです。

センサの出力をそのまま測定器につなぐと、電流が流れて電圧が下がってしまう——間にボルテージフォロワを入れれば、その心配がなくなります。非反転増幅器は入力インピーダンスが高いので、センサ用の増幅回路としても優れているのです。

演算増幅器の基本回路を並べる

オペアンプの回路は、抵抗の付け方でいろいろな演算ができます。「演算増幅器」という名前の由来です。

回路	入出力の関係	用途
反転増幅器	\( V_2=-\dfrac{R_2}{R_1}V_1 \)	増幅・減衰
非反転増幅器（本問）	\( V_2=\left(1+\dfrac{R_2}{R_1}\right)V_1 \)	高入力インピーダンスの増幅
加算回路	\( V_2=-\left(\dfrac{R_f}{R_a}V_a+\dfrac{R_f}{R_b}V_b\right) \)	複数信号の合成
積分回路	\( V_2=-\dfrac{1}{CR}\int V_1\,dt \)	★PID制御のI動作
微分回路	\( V_2=-CR\dfrac{dV_1}{dt} \)	★PID制御のD動作

帰還素子を抵抗からコンデンサに変えると積分回路になります。入力側をコンデンサにすれば微分回路——この2つを組み合わせれば、アナログのPID制御器が作れるのです。

自動制御の単元でオペアンプが出題される理由がここにあります。ディジタル化された現在でも、制御の原理を理解するうえで欠かせない回路だからです。

実際のオペアンプは理想とどう違うか

問題文は「理想的」と断っています——実際には限界があるということでもあります。

項目	理想	実際
増幅度	無限大	105〜106程度
入力インピーダンス	無限大	106 Ω以上（FET入力なら極めて高い）
周波数特性	制限なし	★高い周波数では増幅度が落ちる

増幅度が有限でも、10⁵ もあれば実用上は無限大とみなせます——だからイマジナリショートが成り立つのです。

ただし周波数特性の制限は無視できません。増幅度×帯域幅がほぼ一定（GB積）——大きく増幅しようとすると、扱える周波数が下がるという関係があります。本問のように増幅度13 なら十分広い帯域が使えます。

まとめ

R1	10 kΩ
R2	120 kΩ
V̇2/V̇1=(R1+R2)/R1	13
答え	(5)

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