照明14【電験3種機械】立体角を用いた円形テーブル面の平均照度の計算！平成19年度 A問題11 完全解説

2026年7月9日2026年8月8日

電験3種機械科目照明平成19年度 A問題11 立体角で解く円卓の照度！平均は何lx？

今回は平成19年度機械科目 A問題11を解説します。円形テーブル中心の直上に全光束3600lmの均等放射白熱電球を取り付けたときの、円形テーブル面の平均照度を立体角を用いて求める計算問題です。

均等放射光源の光度I＝F/4πを求め、電球から円形テーブルを見込む立体角ω（2.36sr）を掛けてテーブルに入射する光束F_T＝ωIを求めます。平均照度はF_Tをテーブルの面積で割って求めます。

平成19年度機械科目 A問題11：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種機械科目照明平成19年度 A問題11 問題文 — 平成19年度機械科目 A問題11 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成19年度第三種電気主任技術者試験」機械科目 A問題11

電験3種機械科目【照明】平成19年度 A問題11

　円形テーブルの中心点の直上に全光束3600〔lm〕で均等放射する白熱電球を取り付けた．この円形テーブル面の平均照度〔lx〕の値として，最も近いのは次のうちどれか．

　ただし，電球から円形テーブル面までの距離に比べ電球の大きさは無視できるものとし，電球から円形テーブル面を見た立体角は2.36〔sr〕，円形テーブルの面積は20〔m²〕とする．

（1）14　（2）34　（3）68　（4）76　（5）135〔lx〕

出題のポイント：逆二乗則が使えない場面

照度といえば逆二乗則——ところが本問では使えません。その理由から考えてみましょう。

逆二乗則 E＝I/r² は「1点の照度」を求める式です。ところがテーブルは広がりを持っている——中心と縁とでは距離も入射角も違います。

本問が問うているのは「平均照度」——テーブル全体が受けた光束を、面積で割った値です。だから「テーブルに入る光束の総量」を先に求める必要があります。

求めたいもの	使う式	必要な情報
ある1点の照度	E＝I cosθ/r²	その点までの距離と角度
★面の平均照度	E＝F_T/S	★入射光束と面積

そこで立体角の出番——光源から面を見込む立体角が分かれば、そこへ向かう光束が計算できます。

均等放射点光源から円形テーブルを見込む立体角と平均照度までの計算手順を示す図 — 立体角2.36 srは、全光束のうちテーブルへ入る光束を決めるために使います。

立体角とは何か

平面の角度が「弧の長さ÷半径」なら、立体角は「面積÷半径の2乗」です。

立体角

\( \omega=\dfrac{S}{r^2}\ [\mathrm{sr}] \)

半径 r の球面上で面積 S を切り取る角。単位はステラジアン

球の表面積は 4πr²——だから全方向の立体角は 4π＝12.57 sr になります。これが「全立体角」です。

本問の2.36 sr は、その約19％——電球が出す光の2割弱がテーブルに向かうという意味になります。

立体角	値[sr]	全体に対する割合
全方向	4π＝12.57	100 ％
半球（下向き全部）	2π＝6.28	50 ％
★本問のテーブル	2.36	★約19 ％

計算する

\( I=\dfrac{F}{4\pi}=\dfrac{3600}{4\pi}=286.5\ [\mathrm{cd}] \)

①平均光度
★均等放射なので全方向で同じ

\( F_T=\omega I=2.36\times 286.5=676\ [\mathrm{lm}] \)

②テーブルに入る光束
立体角×光度

\( E=\dfrac{F_T}{S}=\dfrac{676}{20}=33.8\ [\mathrm{lx}] \)

③平均照度
★答え

3段階とも割り算と掛け算だけ——難しい計算はありません。どの段階で何を求めているかを見失わないことが大切です。

もっと短く計算する

3つの式をまとめると、光度を経由せずに済みます。

\( E=\dfrac{\omega}{4\pi}\cdot\dfrac{F}{S} \)

式をまとめると
★「光束の何割か」×「面積あたり」

\( =\dfrac{2.36}{12.566}\times\dfrac{3600}{20}=0.1878\times 180 \)

代入

\( =33.8\ [\mathrm{lx}] \)

同じ答え

「全光束のうち18.8％がテーブルに入り、それを20 m² で割る」——この見方なら意味がつかみやすいでしょう。

平均照度33.8ルクスを最も近い34ルクスに丸めて選択肢2とする解答図 — 計算値33.8 lxに最も近い値は34 lxなので、答えは（2）です。

答え正解は (2) 34 lxです。

⚠️ よくある間違い
立体角を逆二乗則に混ぜてしまうのが典型的な誤り——ω は「入射する光束」を求めるためだけに使います。
本問には距離が与えられていません——それ自体が「逆二乗則は使わない」という合図です。与えられた数値だけで解ける道筋を探しましょう。
もう1つ、4π で割り忘れると3600×2.36÷20＝425 lx——桁が違う値になります。光束から光度を出すときは必ず4π です。

⏱️ 本番での進め方
①距離が与えられていない＝逆二乗則は使わない。
②I＝F/4π で平均光度。全立体角は4π＝12.57 sr。
③F_T＝ωI で面に入る光束。
④E＝F_T/S で平均照度。★3段階を順に。

💡 覚え方
「立体角は光束を切り出すための道具」——ω/4π が「全光束のうち何割か」を表します。平均照度は「入った光束÷面積」——照度の定義そのものです。

点照度を逆二乗則で求める問題は令和6年度下期 B問題17にあります（照明：均等放射点光源の平均光度と水平面照度）。解き方の違いを比べておくとよいでしょう。

全光束3600ルーメンから光度、入射光束、平均照度33.8ルクスを求める3段階の計算図 — I＝F／4π、F_T＝ωI、E＝F_T／Sの順に光束を追います。

円錐の立体角を計算してみる

本問では立体角2.36 sr が与えられています——これがどこから来た値なのかを確かめておきましょう。

円錐の立体角

\( \omega=2\pi(1-\cos\theta)\ [\mathrm{sr}] \)

θ：円錐の頂点の半頂角（中心軸と母線のなす角）

\( 2.36=2\pi(1-\cos\theta) \)

与えられた値から逆算

\( 1-\cos\theta=0.3757 \)

整理

\( \cos\theta=0.6243 \Rightarrow \theta=51.4^\circ \)

★半頂角
かなり広い

電球から見て、テーブルの縁が51.4°の方向にある——それだけ広く見込んでいるということです。

テーブルの面積20 m² なら半径は約2.52 m——tan51.4°＝1.25 なので、電球の高さは約2.0 m と逆算できます。問題文に高さが書かれていなくても、立体角がすべてを含んでいるのです。

立体角の便利な性質

条件	立体角	覚え方
全方向	4π＝12.57 sr	球の表面積4πr²÷r²
半球	2π＝6.28 sr	★θ＝90°を代入
θ＝60°の円錐	π＝3.14 sr	cos60°＝0.5

半球が2π になるのは、公式にθ＝90°（cos＝0）を入れれば確かめられます——下向き全体に光が出る場合がこれです。

器具に反射板を付けて下向きだけにすれば、同じランプでも床の照度は2倍——立体角を半分に絞ったぶん、密度が上がるからです。照明率U が器具の形で変わる理由も、ここにあります。

平均照度と点照度は別のもの

本問が求めたのは「平均」照度——テーブルのどの点も33.8 lx というわけではありません。

位置	実際の照度	理由
中心（真下）	★最も明るい	距離が最短、cosθ＝1
縁	★最も暗い	距離が長く、斜めから当たる
全体の平均	33.8 lx	入射光束÷面積