照明5【電験3種 機械】LED配光特性I(θ)=I(0)cosθによる床面照度の計算！平成27年度 B問題16 完全解説

今回は平成27年度 機械科目 B問題16を解説します。配光特性I(θ)＝I(0)cosθをもつLED1個について、床面A点の照度から鉛直角θ_A方向の光度I(θ_A)を逆算する(a)と、直下B点の照度(b)を求める問題です。

A点の照度の式E_A＝I(θ_A)cosθ_A/r²にA点までの距離r＝√(1.2²+2.4²)を代入して逆算し、I(θ_A)からI(0)＝I(θ_A)/cosθ_Aを求め、最後にB点照度E_B＝I(0)/2.4²を計算します。

平成27年度 機械科目 B問題16：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【照明】 平成27年度 B問題16

　図に示すように，LED1個が，床面から高さ2.4mの位置で下向きに取り付けられ，点灯している．このLEDの直下方向となす角（鉛直角）をθとすると，このLEDの配光特性（θ方向の光度I(θ)）は，LED直下方向光度I(0)を用いてI(θ)＝I(0)cosθで表されるものとする．次の(a)及び(b)の問に答えよ．

（a）床面A点における照度が20lxであるとき，A点がつくる鉛直角θ_Aの方向の光度I(θ_A)の値〔cd〕として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ．ただし，このLED以外に光源はなく，天井や壁など，周囲からの反射光の影響もないものとする．

（b）このLED直下の床面B点の照度の値〔lx〕として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ．

（1）60　（2）119　（3）144　（4）160　（5）319〔cd〕

（1）25　（2）28　（3）31　（4）49　（5）61〔lx〕

出題のポイント：A点の照度からLEDの直下照度へ逆算する

A点では斜距離の逆二乗と水平面への余弦を用いて斜め方向光度を逆算します。次に配光特性I(θ)＝I(0)cosθから直下方向光度I(0)を求め、最後に高さ2.4 mで直下B点の照度を計算します。

ポイント解説：斜め方向光度・直下光度・直下照度の順に求める

配光特性I(θ)＝I(0)cosθをもつLEDでは、A点の照度の式E_A＝I(θ_A)cosθ_A/r²を逆に解いてI(θ_A)を求めることができます。

I(θ_A)が分かれば、配光特性の式からI(0)＝I(θ_A)/cosθ_Aが求まり、直下B点の照度はE_B＝I(0)/h²（hはLEDの高さ）で計算できます。

問題の解説：(a)は（4）、(b)は（3）

STEP1　A点までの距離と角度を求める

LED直下Bから水平に1.2m離れたA点までの距離は $$r_A=\sqrt{1.2^2+2.4^2}=\sqrt{1.44+5.76}=\sqrt{7.2}\ [\text{m}]$$

\(\cos\theta_A=2.4/\sqrt{7.2}\)（鉛直方向の比）。

STEP2　（a）A点の照度の式からI(θA)を逆算する

$$E_A=\frac{I(\theta_A)\cos\theta_A}{r_A^2}=\frac{I(\theta_A)\times2.4}{7.2\sqrt{7.2}}=20$$

$$I(\theta_A)=\frac{20\times7.2\sqrt{7.2}}{2.4}\fallingdotseq161.0\ [\text{cd}]$$

最も近いのは(a)-(4) 160です。

STEP3　（b）I(0)を求めてB点照度を計算する

配光特性より \(I(0)=I(\theta_A)/\cos\theta_A=161.0\times\sqrt{7.2}/2.4\fallingdotseq180.0\ [\text{cd}]\)。

B点はLED直下なので $$E_B=\frac{I(0)}{2.4^2}=\frac{180.0}{5.76}\fallingdotseq31.25\fallingdotseq31\ [\text{lx}]$$

最も近いのは(b)-(3) 31です。

答え：(a)-(4)，(b)-(3)

まとめ

rA	√7.2 m
I(θA)	≒161.0cd
(a)	(4)
I(0)	≒180.0cd
EB	≒31.25lx
(b)	(3)
答え	(a)-(4)，(b)-(3)

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