照明5【電験3種機械】LED配光特性I(θ)=I(0)cosθによる床面照度の計算！平成27年度 B問題16 完全解説

2026年7月9日2026年8月8日

電験3種機械科目照明平成27年度 B問題16 斜めに広がるLEDの光！床の照度はいくつ？

今回は平成27年度機械科目 B問題16を解説します。配光特性I(θ)＝I(0)cosθをもつLED1個について、床面A点の照度から鉛直角θ_A方向の光度I(θ_A)を逆算する(a)と、直下B点の照度(b)を求める問題です。

A点の照度の式E_A＝I(θ_A)cosθ_A/r²にA点までの距離r＝√(1.2²+2.4²)を代入して逆算し、I(θ_A)からI(0)＝I(θ_A)/cosθ_Aを求め、最後にB点照度E_B＝I(0)/2.4²を計算します。

平成27年度機械科目 B問題16：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種機械科目照明平成27年度 B問題16 問題文 — 平成27年度機械科目 B問題16 問題文

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「平成27年度第三種電気主任技術者試験」機械科目 B問題16

電験3種機械科目【照明】平成27年度 B問題16

　図に示すように，LED1個が，床面から高さ2.4mの位置で下向きに取り付けられ，点灯している．このLEDの直下方向となす角（鉛直角）をθとすると，このLEDの配光特性（θ方向の光度I(θ)）は，LED直下方向光度I(0)を用いてI(θ)＝I(0)cosθで表されるものとする．次の(a)及び(b)の問に答えよ．

（a）床面A点における照度が20lxであるとき，A点がつくる鉛直角θ_Aの方向の光度I(θ_A)の値〔cd〕として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ．ただし，このLED以外に光源はなく，天井や壁など，周囲からの反射光の影響もないものとする．

（b）このLED直下の床面B点の照度の値〔lx〕として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ．

（1）60　（2）119　（3）144　（4）160　（5）319〔cd〕

（1）25　（2）28　（3）31　（4）49　（5）61〔lx〕

出題のポイント：照度から光度へ逆算する

ふつうは光度から照度を求めますが、本問は逆向き——与えられた照度から光度を求めるのが(a)です。

段階	求めるもの	使う関係
①	A点までの距離と角度	三平方の定理
②(a)	★斜め方向の光度I(θ_A)	★照度の式を逆に解く
③	直下方向の光度I(0)	配光特性 I(θ)＝I(0)cosθ
④(b)	直下B点の照度	逆二乗則（cosθ＝1）

「照度→光度→光度→照度」と往復する——一見遠回りに見えますが、配光特性が分からないと直下が求まらないので、この順序しかありません。

高さ2.4mのLED、直下Bと水平1.2m離れたA、斜距離平方7.2および配光特性からの逆算手順を示す図 — 斜め方向の照度式と配光特性を順番に逆向きへたどります。

(a) 斜め方向の光度

\( r_A=\sqrt{1.2^2+2.4^2}=\sqrt{7.2}=2.683\ [\mathrm{m}] \)

①距離
★r²＝7.2 のまま使う

\( \cos\theta_A=\dfrac{2.4}{\sqrt{7.2}}=0.894 \)

②余弦
高さ/斜距離

\( E_A=\dfrac{I(\theta_A)\cos\theta_A}{r_A^2}=20 \)

③照度の式
★これを逆に解く

\( I(\theta_A)=\dfrac{20\times 7.2}{0.894}=161\ [\mathrm{cd}] \)

④逆算
★答え

r²＝7.2 は根号を外さずに使えます——(√7.2)²＝7.2。cosθ を求めるときだけ√7.2＝2.683 が必要になります。

選択肢(3)の144 は 20×7.2——cosθ で割るのを忘れた値です。照度の式にcosθ が入っていることを見落とすと、ここに落ちます。

答え(a)の正解は (4) 160 cdです。

(b) 直下の照度

\( I(0)=\dfrac{I(\theta_A)}{\cos\theta_A}=\dfrac{161}{0.894}=180\ [\mathrm{cd}] \)

①直下方向の光度
★配光特性を逆に使う

\( E_B=\dfrac{I(0)}{h^2}=\dfrac{180}{2.4^2}=\dfrac{180}{5.76} \)

②直下照度
cosθ＝1 なので余弦は不要

\( =31.25\fallingdotseq 31\ [\mathrm{lx}] \)

答え
★(3)

(a)で161 と求まったら、選択肢の160 に丸めずに計算を続ける——丸めた値を使うと(b)で誤差が出ます。選択肢は「最も近いもの」を選ぶだけで、次の計算には正確な値を使うのが鉄則です。

LED の配光が cosθ になる理由

本問の I(θ)＝I(0)cosθ——これはLED に限らず、平らな発光面に共通の性質です。

斜めから見ると、発光面が細長くつぶれて見えます——見かけの面積がcosθ 倍。輝度が一定なら、光度も同じ割合で減ることになります。

方向	見かけの面積	光度
真下（θ＝0）	S	★I(0)（最大）
θ＝60°	0.5S	0.5 I(0)
真横（θ＝90°）	0	★0

だから平らな発光面は、真下がいちばん明るく、真横には光が出ません——天井に取り付ける照明として自然な配光だと言えます。

これを完全拡散（ランバート）配光といいます——白い紙が反射する光もこの形。照明の計算でいちばんよく登場する配光です。

実際のLED 照明器具は

素子そのものはcosθ 配光ですが、レンズや反射板を付ければ変えられます——狭角にすればスポット、広角にすれば全般照明。

本問は「LED1個が下向きに取り付けられ」とあるだけ——器具の補正はない素の配光として扱っています。

B問題を確実に取る順序

本問は(a)の答えを(b)で使う——連鎖する構成です。だからこそ(a)を確実に取りましょう。

段階	確認すること
①図を描く	★高さ2.4、水平1.2、斜辺√7.2 を書き込む
②角度を決める	cosθ＝高さ/斜辺（鉛直基準）
③式を書く	E＝I cosθ/r² をまず正しい向きで
④解く	★求めたい文字について変形

いきなり「I＝Er²/cosθ」と書こうとしない——まず素直な形E＝I cosθ/r² を書いてから移項するのが確実です。

逆算の問題では、掛けるべきか割るべきかで迷いがち——元の式を書いてから動かせば、迷いようがありません。

数値の丸め方

(a)で161 cd と求まり、選択肢は160——「最も近いもの」なので160 を選びます。

しかし(b)の計算には161 を使う——160 を使うと E＝(160/0.894)/5.76＝31.1。今回はどちらでも31 になりますが、問題によっては選択肢をまたぐ誤差になりかねません。

途中の値は丸めない——B問題の基本作法です。

まとめて1つの式にすると

\( I(0)=\dfrac{E_A\,r_A^2}{\cos^2\theta_A} \)

①と③をまとめる
★cos の2乗

\( \cos^2\theta_A=\dfrac{2.4^2}{7.2}=\dfrac{5.76}{7.2}=0.8 \)

②2乗なら根号が消える
★計算が楽

\( I(0)=\dfrac{20\times 7.2}{0.8}=180\ [\mathrm{cd}] \)

③一気に求まる

cos²θ なら根号が出てきません——5.76÷7.2＝0.8 と、割り算1回で済みます。(b)だけを問われたなら、この形が最速です。

平成27年度機械B問題16で斜め方向光度161cdに最も近い160cdを選択肢4、直下照度31ルクスを選択肢3と示す図 — 答えは(a)（4）、(b)（3）です。

答え(a)の正解は (4)、(b)の正解は (3) 31 lxです。

⚠️ よくある間違い
照度の式でcosθ を落とす——選択肢(3)の144 cd がその値です。
水平面照度＝法線照度×cosθ——逆算するときは、cosθ で「割る」ことになります。
もう1つ、r² に高さ2.4²＝5.76 を使ってしまう——A点までの距離は斜辺の√7.2 です。2乗して7.2——5.76 とは3割ほど違います。
「距離」と「高さ」を図で区別してから式に入れてください。

⏱️ 本番での進め方
①r²＝1.2²＋2.4²＝7.2（根号は外さない）。
②(a) I(θ)＝E r²/cosθ＝20×7.2/0.894＝161 cd。
③(b) I(0)＝I(θ)/cosθ＝180 cd →E＝180/5.76＝31 lx。
④★まとめると I(0)＝E r²/cos²θ。cos²θ＝0.8 で根号なし。