同期機27【電験3種 機械】同期電動機のトルクと誘導起電力！平成26年 B問題15 完全解説

今回は平成26年度 機械科目 B問題15を解説します。同期電動機のトルクと、界磁を変えたときの誘導起電力を求める2問構成です。

トルクは \(T=P/\omega\)、出力 \(P=\sqrt3 V_\ell I\cos\theta\)。(b)は \(\dot E=\dot V-jx_s\dot I\) で計算します。

問題文と選択肢

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「平成26年度 第三種電気主任技術者試験」機械科目 B問題15

　周波数が60 Hzの電源で駆動されている4極の三相同期電動機（星形結線）があり，端子の相電圧 V [V]は 400/√3 V，電機子電流 I_M [A]は200 A，力率1で運転している。1相の同期リアクタンス x_s [Ω]は1.00 Ωであり，電機子の巻線抵抗，及び機械損などの損失は無視できるものとして，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

（a）　上記の同期電動機のトルクの値[N・m]として最も近いものを，次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)　12.3　(2)　368　(3)　735　(4)　1 270　(5)　1 470

（b）　上記の同期電動機の端子電圧及び出力を一定にしたまま界磁電流を増やしたところ，電機子電流が I_M1 [A]に変化し，力率 cosθ が √3/2（θ=30°）の進み負荷となった。出力が一定なので入力電力は変わらない。このときの1相の誘導起電力 E [V]として，最も近い E の値を次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)　374　(2)　387　(3)　400　(4)　446　(5)　475

出題のポイント：力率1でトルク、力率変更で誘導起電力

(a)は力率1での素直なトルク計算、(b)は励磁を強めて進み力率にしたときの誘導起電力——同期電動機のV曲線を、計算で追いかける構成になっています。

(b)の鍵は「出力が一定なので入力電力は変わらない」という一文です。有効電力が同じなら、力率が下がった分だけ電流が増える——まずその新しい電流を求めてから、ベクトル図に入ります。

(a) トルクを求める

損失が無視できるので、電気入力がそのまま機械出力になります。力率1なので、入力は単純に「3×相電圧×電流」です。

(b) 新しい電流を求める

入力電力が変わらないのですから、有効電力は138.6 kW のままです。力率が0.866 に下がった分、電流は増えます。

力率が1から0.866 に下がると、電流は 1/0.866＝1.155 倍になります。200×1.155＝231 A——割り算をしなくても、この比だけで出せます。

(b) 誘導起電力を求める

電動機なので \( \dot{E}=\dot{V}-jx_s\dot{I}_{M1} \)。進み力率なので \( \dot{I}_{M1} \) は \( \dot{V} \) より30°進む——\( \dot{I}_{M1}=231(\cos30^{\circ}+j\sin30^{\circ}) \) です。

(a)から(b)への変化がV曲線そのもの

	(a) 調整前	(b) 界磁を増やした後
励磁の状態	適正励磁	過励磁
力率	1.0	0.866 進み
電機子電流	200 A（最小）	231 A（増加）
誘導起電力	約231 V（1相）	400 V（1相）
有効電力	138.6 kW	138.6 kW（不変）

界磁電流を増やすと誘導起電力が大きくなり、電流が進み位相になって大きさも増える——これがV曲線の右半分（過励磁側）を登る動きです。有効電力は変わらないのに電流だけ増えるので、銅損は増え、効率は下がります。

それでも過励磁で運転する意味は、系統に進み無効電力を供給できることです。工場全体の力率改善に貢献できる——効率の低下と引き換えに、電力料金の力率割引を得るという運用になります。

まとめ

同期角速度	\(\omega=4\pi\times60/4=60\pi\,\mathrm{rad/s}\)
トルク	\(T=\sqrt3\times400\times200/(60\pi)\fallingdotseq735\,\mathrm{N\cdot m}\)…(a)(3)
誘導起電力	\(E=400\,\mathrm V\)…(b)(3)
答え	(a) (3)、(b) (3)

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