同期機27【電験3種 機械】同期電動機のトルクと誘導起電力！平成26年 B問題15 完全解説

今回は平成26年度 機械科目 B問題15を解説します。同期電動機のトルクと、界磁を変えたときの誘導起電力を求める2問構成です。

トルクは \(T=P/\omega\)、出力 \(P=\sqrt3 V_\ell I\cos\theta\)。(b)は \(\dot E=\dot V-jx_s\dot I\) で計算します。

問題文と選択肢

　周波数が60 Hzの電源で駆動されている4極の三相同期電動機（星形結線）があり，端子の相電圧 V [V]は 400/√3 V，電機子電流 I_M [A]は200 A，力率1で運転している。1相の同期リアクタンス x_s [Ω]は1.00 Ωであり，電機子の巻線抵抗，及び機械損などの損失は無視できるものとして，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

（a）　上記の同期電動機のトルクの値[N・m]として最も近いものを，次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)　12.3　(2)　368　(3)　735　(4)　1 270　(5)　1 470

（b）　上記の同期電動機の端子電圧及び出力を一定にしたまま界磁電流を増やしたところ，電機子電流が I_M1 [A]に変化し，力率 cosθ が √3/2（θ=30°）の進み負荷となった。出力が一定なので入力電力は変わらない。このときの1相の誘導起電力 E [V]として，最も近い E の値を次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)　374　(2)　387　(3)　400　(4)　446　(5)　475

出題のポイント：トルクと進み力率の複素計算を分ける

(a)は三相入力P＝√3VℓIcosθを同期角速度ω＝4πf／pで割ってトルクを求めます。(b)では端子電圧と出力が一定なので、電機子電流の有効成分Icosθが200 Aのままです。進み30°の電流を複素表示し、同期電動機の式E＝V−jxsIで誘導起電力を計算します。

ポイント解説：出力一定なら電流の有効成分が一定になる

(a) 出力 \(P=\sqrt3 V_\ell I\cos\theta\)（力率1）、同期角速度 \(\omega=\dfrac{4\pi f}{p}\)、トルク \(T=P/\omega\)。(b) 端子電圧・出力が一定なら有効電流は一定なので \(I_{M1}=I_M/\cos\theta\)、\(\dot E=\dot V-jx_s\dot I_{M1}\) で誘導起電力を求めます。

$$T=\frac{P}{\omega},\qquad \dot E=\dot V-jx_s\dot I_{M1}$$

問題の解説：トルク735 N・mと誘導起電力400 Vを求める

STEP1　同期角速度とトルクを求める（a）

$$\omega=\frac{4\pi f}{p}=\frac{4\pi\times60}{4}=60\pi\ [\mathrm{rad/s}]$$

$$T=\frac{P}{\omega}=\frac{\sqrt3\times400\times200\times1}{60\pi}\fallingdotseq735\ [\mathrm{N\cdot m}]$$

よって（a）は(3)。

STEP2　界磁増加後の電機子電流（b）

端子電圧・出力が一定なら有効電流も一定。進み力率 \(\cos\theta=\sqrt3/2\)（\(\theta=30^\circ\)）なので、\(I_{M1}=\dfrac{200}{\sqrt3/2}=\dfrac{400}{\sqrt3}\) A。

STEP3　誘導起電力を求める（b）

$$\dot E=\dot V-jx_s\dot I_{M1}=\frac{400}{\sqrt3}-j1.00\times\frac{400}{\sqrt3}\angle30^\circ=\frac{400}{\sqrt3}(1-j\angle30^\circ)$$

$$=400\angle-30^\circ\ \Rightarrow\ E=400\ [\mathrm V]$$

よって（b）は(3)。

答え：(a) (3)、(b) (3)

まとめ

同期角速度	\(\omega=4\pi\times60/4=60\pi\,\mathrm{rad/s}\)
トルク	\(T=\sqrt3\times400\times200/(60\pi)\fallingdotseq735\,\mathrm{N\cdot m}\)…(a)(3)
誘導起電力	\(E=400\,\mathrm V\)…(b)(3)
答え	(a) (3)、(b) (3)

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