同期機29【電験3種 機械】同期速度からトルクを求める！平成19年 B問題15 完全解説

今回は平成19年度 機械科目 B問題15を解説します。同期電動機の同期速度（角速度）とトルクを求める2問構成です。

角速度 \(\omega=\dfrac{4\pi f}{p}\)、出力 \(P=\dfrac{V_0V}{x_s}\sin\delta\)、トルク \(T=P/\omega\) を順に使います。

問題文と選択肢

　6極，定格周波数60 Hz，電機子巻線がY結線の円筒形三相同期電動機がある。この電動機の一相当たりの同期リアクタンスは3.52 Ωであり，また，電機子抵抗は無視できるものとする。端子電圧（線間）440 V，定格周波数の電源に接続し，励磁電流を一定に保ってこの電動機を運転したとき，次の(a)及び(b)に答えよ。

（a）　この電動機の同期速度を角速度[rad/s]で表した値として，最も近いのは次のうちどれか。

(1)　12.6　(2)　48　(3)　63　(4)　126　(5)　253

（b）　無負荷誘導起電力（線間）が400 V，負荷角が60°のとき，この電動機のトルク[N・m]の値として，最も近いのは次のうちどれか。

(1)　115　(2)　199　(3)　345　(4)　597　(5)　1 034

出題のポイント：同期角速度・電磁出力・トルクを順に求める

同期電動機のトルクは、同期角速度、電磁出力、T＝P／ωの順で求めます。6極60 Hzでは同期速度Ns＝120f／p＝1200 min⁻¹、角速度ω＝2πNs／60＝125.7 rad/sです。出力式を線間電圧で書けばP＝V0V／Xs・sinδとなり、三相分と2つの1／√3が相殺されます。回転速度min⁻¹をそのままP／Tへ使わないことが重要です。

ポイント解説：1200 min⁻¹を125.7 rad/sへ変換してからトルクを計算する

同期角速度は \(\omega=\dfrac{4\pi f}{p}\)（＝\(2\pi N/60\)、\(N=120f/p\)）。出力は \(P=\dfrac{V_0V}{x_s}\sin\delta\)（線間値）、トルクは \(T=P/\omega\) です。

$$\omega=\frac{4\pi f}{p},\qquad P=\frac{V_0V}{x_s}\sin\delta,\qquad T=\frac{P}{\omega}$$

問題の解説：同期角速度125.7 rad/sとトルク約345 N・mを求める

STEP1　同期角速度を求める（a）

$$\omega=\frac{4\pi f}{p}=\frac{4\pi\times60}{6}\fallingdotseq125.7\ [\mathrm{rad/s}]$$

よって（a）は(4)。

STEP2　出力を求める（b）

$$P=\frac{V_0V}{x_s}\sin\delta=\frac{400\times440}{3.52}\times\sin60^\circ\fallingdotseq43\,300\ [\mathrm W]$$

STEP3　トルクを求める（b）

$$T=\frac{P}{\omega}=\frac{43\,300}{125.7}\fallingdotseq345\ [\mathrm{N\cdot m}]$$

よって（b）は(3)。

答え：(a) (4)、(b) (3)

まとめ

同期角速度	\(\omega=4\pi\times60/6\fallingdotseq125.7\,\mathrm{rad/s}\)…(a)(4)
出力	\(P=\dfrac{400\times440}{3.52}\sin60^\circ\fallingdotseq43\,300\,\mathrm W\)
トルク	\(T=43\,300/125.7\fallingdotseq345\,\mathrm{N\cdot m}\)…(b)(3)
答え	(a) (4)、(b) (3)

▼あわせて解きたい関連問題
・トルクの計算：【機械】平成26年度B問題15
・トルクの穴埋め：【機械】令和元年度A問題5