同期機28【電験3種機械】同期電動機の入力・出力・トルクの穴埋め！令和元年 A問題5 完全解説

2026年7月5日2026年8月8日

電験3種機械科目同期機令和元年度 A問題5 入力から出力までの流れ！トルクも穴埋めで確認

今回は令和元年度機械科目 A問題5を解説します。同期電動機の入力・出力・トルクの関係を導く穴埋め問題です。

出力 \(P_o=\dfrac{VE}{x}\sin\delta\)、トルクは \(\delta=\pi/2\) で最大になる流れを押さえます。

問題文と選択肢

出典：一般財団法人電気技術者試験センター「令和元年度第三種電気主任技術者試験」機械科目 A問題5

　次の文章は，星形結線の円筒形三相同期電動機の入力，出力，トルクに関する記述である。

　1相分の誘導起電力 \(E\) [V]，電圧 \(V\) [V]，電流 \(I\) [A]，\(V\) と \(I\) の位相差を \(\theta\) [rad]としたときの1相分の入力 \(P_i\) は \(P_i=VI\cos\theta\)。また，\(E\) と \(V\) の位相差を \(\delta\) [rad]とすると，1相分の出力 \(P_o\) は \(P_o=EI\cos(\delta-\theta)=\dfrac{VE}{x}\,\)(イ) と表される。\(E\) と \(V\) の位相差 \(\delta\) は(ア)といわれる。ここで \(x\) [Ω]は同期リアクタンスであり，電機子巻線抵抗は無視できるものとする。

　全出力を \(P\) [W]，同期速度を \(n_s\) [min^-1]とすると，\(P=3P_o=2\pi\dfrac{n_s}{60}T\)。これから \(T=\dfrac{60}{2\pi n_s}\cdot\dfrac{3VE}{x}\,\)(イ)。以上のことから，\(0\le\delta\le\dfrac{\pi}{2}\) の範囲において \(\delta\) が(ウ)なるに従って \(T\) は(エ)なり，理論上 \(\dfrac{\pi}{2}\) [rad]のとき(オ)となる。空白箇所（ア）〜（オ）に当てはまる組合せとして正しいものを一つ選べ。

（ア）（イ）（ウ）（エ）（オ）
(1) 負荷角 cosδ 大きく大きく最大値
(2) 力率角 cosδ 大きく小さく最小値
(3) 力率角 sinδ 小さく小さく最小値
(4) 負荷角 sinδ 大きく大きく最大値
(5) 負荷角 cosδ 小さく小さく最大値

	（ア）	（イ）	（ウ）	（エ）	（オ）
(1)	負荷角	cosδ	大きく	大きく	最大値
(2)	力率角	cosδ	大きく	小さく	最小値
(3)	力率角	sinδ	小さく	小さく	最小値
(4)	負荷角	sinδ	大きく	大きく	最大値
(5)	負荷角	cosδ	小さく	小さく	最大値

出題のポイント：式を追えば空欄は自動的に埋まる

本問は導出の流れがすべて問題文に書かれています。暗記していなくても、書かれた式を1行ずつ追えば（イ）が決まり、そこから（ウ）〜（オ）まで芋づる式に決まります。

出発点は1相分の出力の式です。\( P_o=EI\cos(\delta-\theta) \) を \( V,E,x,\delta \) で書き直すと何になるか——ここが（イ）です。

同期電動機の負荷角、1相出力、三相全出力、トルク角特性を示す図 — 負荷角δとsinδを結び付けると、出力とトルクの増減を判断できます。

（イ）を導く

円筒形同期機の1相分出力

\( P_o=\dfrac{VE}{x}\sin\delta\ [\mathrm{W}] \)

電機子巻線抵抗を無視した円筒形機の基本式——同期機の論説・計算の両方で使う最重要式です。

なぜ cos ではなく sin なのか——ベクトル図で \( \dot{E} \) を \( \dot{V} \) の方向と直角方向に分解すると分かります。電流の有効分に効いてくるのは \( E\sin\delta \) の側——だから出力は sin δ に比例します。

\( x I\cos(\delta-\theta)=E\sin\delta \)

ベクトル図
直角方向の成分を等置する

\( I\cos(\delta-\theta)=\dfrac{E\sin\delta}{x} \)

整理
両辺を x で割る

\( P_o=EI\cos(\delta-\theta)=\dfrac{VE}{x}\sin\delta \)

代入
元の式に戻す

導出を覚える必要はありませんが、「sin δ が出てくる」ことだけは確実に。選択肢は cos δ と sin δ の2択なので、ここが決まれば5肢が2肢に絞れます。

（ウ）（エ）（オ）を確定する

トルクの式 \( T=\dfrac{60}{2\pi n_s}\cdot\dfrac{3VE}{x}\sin\delta \) は、δ 以外がすべて定数です。だから T の増減は \( \sin\delta \) の増減そのもの——あとは正弦関数のグラフを思い出すだけです。

δ の範囲	sin δ	トルク T
0	0	0（無負荷）
0 → π/2 で増加	0 → 1 に増加	大きくなる
π/2	1（最大）	最大値＝脱出トルク
π/2 → π	1 → 0 に減少	減少（不安定領域）

問題文が範囲を \( 0\le\delta\le\pi/2 \) に限っているので、この範囲では δ が大きくなるほど T も大きくなり、π/2 で最大値をとります——（ウ）大きく、（エ）大きく、（オ）最大値です。

令和元年機械A問題5の空欄を負荷角、sinδ、大きく、大きく、最大値と確定する図 — 5空欄の組合せから、正解は(4)です。

答え（ア）負荷角　（イ）sin δ　（ウ）大きく　（エ）大きく　（オ）最大値——正解は (4)です。

選択肢の作られ方を読む

☝️ ひっかけの作り方：（ア）の「力率角」は、\( \dot{V} \) と \( \dot{I} \) の位相差 θ のことで、問題文の冒頭ですでに θ として定義済みです。δ は \( \dot{E} \) と \( \dot{V} \) の位相差——同じ問題文の中で別の記号に別の名前が与えられているのですから、読めば必ず区別できます。

⚠️ よくある間違い
（イ）で cos δ を選ぶと、δ＝0（無負荷）でトルク最大、δ＝π/2 でトルク0 という逆の結論になります。「負荷が重いほど δ が大きくなる」という物理と真逆ですから、選んだあとに一度この確認をすれば気づけます。

選択肢(1)(2)(5)はすべて cos δで、(3)(4)が sin δです。（イ）を sin δ と決めた時点で2択——あとは（ウ）が「大きく」か「小さく」かだけで決着します。

⏱️ 本番での進め方
① 出力は VE/x・sin δ。sin か cos かの2択がこの1問の勝負どころ。
② 迷ったら「負荷が重い＝δ が大きい＝トルクが大きい」で確認。
③（ア）は問題文で θ が力率角として使われているので、δ は負荷角。
④ 0〜π/2 の範囲指定があるので、sin は単調増加。（ウ）（エ）は同じ語。

💡 覚え方
「同期機の出力は VE/x・sin δ」——この式1本で、負荷角・脱出トルク・安定度・定態安定極限電力のすべてが説明できます。機械科目で覚える式を1つだけ選べと言われたら、同期機ではこれです。

出題履歴：同じ式が形を変えて繰り返し出る

負荷角とトルクの関係は、令和3年 A問題5でも穴埋めで問われています（同期機30：負荷角・脱出トルク・乱調の穴埋め）。そちらは δ＝π/2 のときの呼び名（脱出トルク）や、乱調・制動巻線まで踏み込んだ内容です。

	令和元年問5（本問）	令和3年問5
問われ方	式の導出過程を追わせる	用語の名前を答えさせる
δ＝π/2 の扱い	「最大値」と答える	「脱出トルク」と答える
必要な知識	sin δ に比例すること	用語（負荷角・脱出トルク・乱調・制動巻線）

式で理解しておけば用語問題にも答えられ、用語だけ覚えても式の問題には答えられません。本問のように導出が書かれている年は、式の意味を確認する絶好の機会——解いたあとに一度、自力で sin δ が出てくる理由をなぞっておく価値があります。

同期電動機の1相出力から三相全出力、同期角速度、トルクを導く図 — T＝P／ωsで、0≦δ≦π／2ではsinδとトルクが増加します。

突極機ではトルクの式に第2項が加わる

本問はわざわざ「円筒形」と断っています。裏を返せば、突極形では式が変わるということです。

突極形同期機の出力（1相分）

\( P_o=\dfrac{VE}{x_d}\sin\delta+\dfrac{V^{2}}{2}\left(\dfrac{1}{x_q}-\dfrac{1}{x_d}\right)\sin 2\delta \)

第1項がマグネットトルク（励磁トルク）、第2項がリラクタンストルクにあたります。

	円筒形（本問）	突極形
回転子の形	円筒。どの向きも磁気抵抗が同じ	凸極。向きで磁気抵抗が違う
リアクタンス	x_d＝x_q	x_d ＞ x_q
トルクの式	sin δ の項だけ	sin δ の項＋sin 2δ の項
最大トルクの位置	δ＝π/2	π/2 より手前（60°付近のことが多い）
無励磁でのトルク	0	0でない（リラクタンストルクが残る）