直流機6【電験3種 機械】誘導起電力の公式（穴埋め）とは？平成20年度 A問題1 完全解説

電験3種（第三種電気主任技術者試験）の機械科目で問われる直流機の誘導起電力の公式。本記事では、平成20年度 A問題1で出題された、公式 \( E=\dfrac{pZ\phi n}{60a} \) を導く穴埋め問題を解説します。

じつはこの問題は、令和6年度下期でもほぼ同一の内容で再出題されています（→【機械】令和6年度下期A問題1）。それだけ重要な基本問題です。カギは導体1本の \( e=Blv \) と、ブラシ間に \( Z/a \) 本が直列に接続されることです。

平成20年度 機械科目 A問題1：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

電験3種 機械科目 【直流機】 平成20年度 A問題1

長さ l [m] の導体を磁束密度 B [T] の磁束の方向と直角に置き、速度 v [m/s] で導体及び磁束に直角な方向に移動すると、導体にはフレミングの (ア) の法則により、e ＝ (イ) [V] の誘導起電力が発生する。

1極当たりの磁束が Φ [Wb]、磁極数が p、電機子総導体数が Z、巻線の並列回路数が a、電機子の直径が D [m] なる直流機が速度 n [min⁻¹] で回転しているとき、周辺速度 v ＝ πD(n/60) [m/s] となり、直流機の正負のブラシ間には (ウ) 本の導体が (エ) に接続されるので、電機子の誘導起電力 E は、E ＝ (オ) [V] となる。

上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)、(ウ)、(エ)及び(オ)に当てはまる語句又は式として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

	(ア)	(イ)	(ウ)	(エ)	(オ)
(1)	右手	\( Blv \)	\( \frac{Z}{a} \)	直列	\( \frac{pZ}{60a}\phi n \)
(2)	左手	\( Blv \)	\( Za \)	直列	\( \frac{pZa}{60}\phi n \)
(3)	右手	\( \frac{Bv}{l} \)	\( Za \)	並列	\( \frac{pZa}{60}\phi n \)
(4)	右手	\( Blv \)	\( \frac{a}{Z} \)	並列	\( \frac{pZ}{60a}\phi n \)
(5)	左手	\( \frac{Bv}{l} \)	\( \frac{Z}{a} \)	直列	\( \frac{Z}{60pa}\phi n \)

出題のポイント：Blvから直流機の起電力公式を組み立てる

磁界中を動く導体1本の起電力はフレミング右手の法則でe＝Blvです。直流機では総導体数Zがa個の並列回路へ分かれるため、ブラシ間の1回路にはZ/a本が直列に接続され、その起電力が加算されます。導体1本が1回転でp個の磁極を通過して切る総磁束pφと回転数n/60を使うと、E＝pZφn/(60a)を導けます。

ポイント解説：1回転で切る磁束から公式を導く

この公式は次の順で組み立てられます。まず磁界中を速度 v で動く長さ l の導体には、フレミング右手の法則で \( e=Blv \) の起電力が生じます（周速 \( v=\pi D\dfrac{n}{60} \)）。この導体が、全 \( Z \) 本を並列回路数 \( a \) で分けた \( Z/a \) 本だけ直列に接続されてブラシ間に現れるので、\( E=\dfrac{Z}{a}\,Blv=\dfrac{pZ\phi n}{60a} \) となります。

この流れを覚えておけば、係数を忘れても公式を自分で作れます。空欄はこの導出の各ステップに対応しています。

問題の解説：右手・Blv・Z/a・直列・公式

まとめ：各空欄に入る語句

空欄	入る語
(ア)	右手（の法則）
(イ)	Blv
(ウ)	Z/a 本
(エ)	直列
(オ)	pZφn/(60a)

公式は「導体1本 \( Blv \)」→「\( Z/a \) 本直列」→「周速代入」で導けます。同一問題の【機械】令和6年度下期A問題1や、公式を数値で使う【機械】平成27年度A問題1もあわせて確認しておきましょう。