電験3種（第三種電気主任技術者試験）の機械科目で頻出の直流機の誘導起電力。本記事では、令和6年度下期 A問題1で問われた、誘導起電力の公式 \( E=\dfrac{pZ\phi n}{60a} \) を導く穴埋め問題を解説します。
カギは、導体1本の起電力 \( e=Blv \)（フレミング右手の法則）から出発し、ブラシ間に \( Z/a \) 本が直列に接続されることを使って、電機子全体の \( E \) を組み立てることです。
ほぼ同じ問題が 【機械】平成20年度A問題1 でも出題されています。出題パターンが固定なので、セットで解けば確実な得点源になります。
令和6年度下期 機械科目 A問題1：問題文と選択肢
公式は暗記ではなく導出の順番で覚えます。
出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「令和6年度下期 第三種電気主任技術者試験」機械科目 A問題1
電験3種 機械科目 【直流機】 令和6年度下期 A問題1
長さ l [m] の導体を磁束密度 B [T] の磁束の方向と直角に置き、速度 v [m/s] で導体及び磁束に直角な方向に移動すると、導体にはフレミングの (ア) の法則により、e ＝ (イ) [V] の誘導起電力が発生する。
1極当たりの磁束が Φ [Wb]、磁極数が p、電機子総導体数が Z、巻線の並列回路数が a、電機子の直径が D [m] なる直流機が回転速度 n [min⁻¹] で回転しているとき、周辺速度 v ＝ πD(n/60) [m/s] となり、直流機の正負のブラシ間には (ウ) 本の導体が (エ) に接続されるので、電機子の誘導起電力 E は、E ＝ (オ) [V] となる。
上記の記述中の空白箇所(ア)〜(オ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
| (ア) | (イ) | (ウ) | (エ) | (オ) | |
|---|---|---|---|---|---|
| (1) | 左手 | \( \frac{Bv}{l} \) | \( \frac{Z}{a} \) | 直列 | \( \frac{Z}{60pa}\phi n \) |
| (2) | 左手 | \( Blv \) | \( Za \) | 直列 | \( \frac{pZa}{60}\phi n \) |
| (3) | 右手 | \( \frac{Bv}{l} \) | \( Za \) | 並列 | \( \frac{pZa}{60}\phi n \) |
| (4) | 右手 | \( Blv \) | \( \frac{a}{Z} \) | 並列 | \( \frac{pZ}{60a}\phi n \) |
| (5) | 右手 | \( Blv \) | \( \frac{Z}{a} \) | 直列 | \( \frac{pZ}{60a}\phi n \) |
出題のポイント：公式は「導出の順番」で覚える
E＝pZφn/(60a) は直流機の最重要公式ですが、丸暗記しようとすると分母の60a や分子の並びが曖昧になります。この問題は導出の順番を空欄で追わせることで、作れる人かどうかを確かめています。
| 空欄 | 答え | 導出の段階 |
| (ア) | 右手 | ①発電の起電力 ⇒ フレミング右手の法則 |
| (イ) | Blv | ②導体1本の起電力 |
| (ウ) | Z/a | ③ブラシ間に並ぶ導体の本数 |
| (エ) | 直列 | ④それらは直列 ⇒ 起電力が足し合わされる |
| (オ) | pZφn/(60a) | ⑤周速と磁束密度を代入して整理 |
導出を最後までたどる
Z 本を a 本の道に分けると1つの道に Z/a 本。それが直列につながる。
電機子の全表面積 πDl に、p 極ぶんの磁束 pφ が通る。
πD と l が約分されるのがこの導出の見どころ。
寸法（D・l）が消えて、極数・導体数・磁束・回転数だけが残る。
この4行を手で書けるようにしておけば、公式を忘れても復元できます。さらに「なぜ寸法が式に出てこないのか」という素朴な疑問にも答えが出ます——導出の途中で約分されて消えるからです。
各空欄の判定ポイント
(ア)：右手か左手か
| 法則 | 求まるもの | 使う場面 | 覚え方 |
| 右手 | 誘導起電力の向き | 発電機 | 右＝発電 |
| 左手 | 電磁力（トルク）の向き | 電動機 | 左＝電動 |
本問は「導体を移動すると誘導起電力が発生する」という話なので右手です。
(イ)：Blv か Bv/l か
Bv/l は次元が合いません。導体が長いほど起電力は大きくなるはずなのに、l で割ると長いほど小さくなってしまいます——物理的におかしいので即座に消せます。
(ウ)(エ)：Z/a 本が直列
Z 本の導体が a 本の並列回路に分かれているのですから、1つの回路に入るのは Z/a 本。掛け算（Za）や逆数（a/Z）では「本数」になりません。そして1つの回路の中では直列なので、起電力は足し合わされます。
☝️ ひっかけの作り方：(ウ)を「Za」、(エ)を「並列」とする組合せが用意されています。「並列なら起電力は足されない（同じ値のまま）」ので、Z/a 倍という結果と矛盾します。(ウ)と(エ)はセットで判定すると確実です。
(オ)：分母に 60a
60 は「毎分を毎秒に直す」ため、a は「並列回路の数で割る」ため——どちらも分母にいる理由が明確です。a が分母にいるのは、並列の道が増えると1つの道の導体が減って電圧が下がるから。
★同一問題：平成20年度 A問題1（番号が違う）
この問題は平成20年度 A問題1とほぼ同じ内容で出題されています。問われている5つの空欄も、答えとなる語句・式も同じです。
| 平成20年度 A問題1 | 令和6年度下期 A問題1（本問） | |
| (ア) | 右手 | 右手（同じ） |
| (イ) | Blv | Blv（同じ） |
| (ウ)(エ) | Z/a・直列 | Z/a・直列（同じ） |
| (オ) | pZφn/(60a) | pZφn/(60a)（同じ） |
| 正解の番号 | (1) | (5) |
答えの中身は完全に同じなのに、正解の番号が (1) から (5) へ移動しています。16年ぶりの再出題で、選択肢を並べ替えただけ——番号で覚えていた人は必ず外します。
これほど間隔が空いても同じ問題が出るということは、「公式を導出できるか」が直流機の基本として一貫して重視されているということです。e＝Blv から始める4行の導出を手で書けるようにしておけば、どんな形で問われても対応できます。
⏱️ 本番での進め方
① 導出の順番で覚える：右手 → Blv → ×(Z/a) → v と B を代入 → πD と l が約分。
② (イ)は次元で判定：Bv/l は「長いほど小さい」となり物理的におかしい。
③ (ウ)(エ)はセットで判定：Z/a 本が直列。並列では起電力が足されない。
④ 正解の番号は年度で変わる（平成20年度は(1)、令和6年度下期は(5)）。中身で覚える。
💡 覚え方
E＝pZφn/(60a) は e＝Blv から4行で作れる。①右手の法則 ②Z/a 本が直列 ③v＝πD(n/60)、B＝pφ/(πDl) を代入 ④πD と l が約分。60 は毎分→毎秒、a は並列回路数で割るから分母にいる。寸法が消えるのは約分されるから。
⚠️ よくある間違い
(ア)を「左手」とするのが最頻です。問われているのは起電力なので右手。もう一つは(ウ)を「Za」とする誤りで、Z 本を a 本の道に分けるのだから割り算です。そして正解の番号は年度で変わるので、番号ではなく中身で覚えてください。
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