この記事では、電験3種（第三種電気主任技術者試験）の機械科目で出題された令和3年 B問題15（変圧器）の過去問を、初心者にもわかりやすく丁寧に解説します。
変圧器の効率・銅損・鉄損に関する計算は、電験3種の機械科目で頻繁に出題される重要テーマです。本記事では、問題文の読み解き方から計算の流れ、最大効率の条件まで、ステップごとに詳しく説明します。スライドなしでも完全に理解できる内容を目指していますので、ぜひ最後まで読んでみてください。
問題文の確認：令和3年 機械科目 B問題15（変圧器）
まずは実際に出題された問題文を確認しましょう。
定格容量が \( 10\text{ kV}\cdot\text{A} \) で、全負荷における銅損と鉄損の比が \( 2:1 \) の単相変圧器がある。力率 \( 1.0 \) の全負荷における効率が \( 97\text{ \%} \) であるとき、次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし、定格容量とは出力側で見る値であり、鉄損と銅損以外の損失は全て無視するものとする。
小問(a)：全負荷における銅損 [W]
全負荷における銅損は何 \( [\text{W}] \) になるか、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| (1) | (2) | (3) | (4) | (5) |
|---|---|---|---|---|
| 357 | 206 | 200 | 119 | 115 |
小問(b)：効率が最大となる負荷は全負荷の何 [%] か
負荷の電圧と力率が一定のまま負荷を変化させた。このとき、変圧器の効率が最大となる負荷は全負荷の何 \( [\%] \) か、最も近いものを(1)～(5)のうちから一つ選べ。
| (1) | (2) | (3) | (4) | (5) |
|---|---|---|---|---|
| 25.0 | 50.0 | 70.7 | 100 | 141 |
解答速報：(a)－(2)、(b)－(3)
解答は (a) (2) 206 W、(b) (3) 70.7 % です。以下でその導出過程を詳しく解説します。
問題(a)の解説：全負荷時の銅損を効率の公式から求める
ステップ1：与えられた条件を整理する
問題文から読み取れる条件を整理します。
| 項目 | 記号 | 値 |
|---|---|---|
| 定格容量（出力） | \( P_n \) | \( 10\text{ kV}\cdot\text{A} = 10{,}000\text{ VA} \) |
| 効率 | \( \eta \) | \( 97\text{ \%} = 0.97 \) |
| 力率 | \( \cos\theta \) | \( 1.0 \) |
| 銅損 : 鉄損 | — | \( 2:1 \) |
| 銅損 | \( P_c \) | 求める値 |
| 鉄損 | \( P_i \) | 未知数 |
力率が \( 1.0 \) のとき、定格容量 \( 10\text{ kV}\cdot\text{A} \) はそのまま出力電力 \( 10{,}000\text{ W} \) として扱えます。これは皮相電力と有効電力が等しくなるためです。
ステップ2：効率の公式を立式する
変圧器の効率 \( \eta \) は、次の公式で定義されます。
$$\eta = \frac{\text{出力}}{\text{入力}} = \frac{\text{出力}}{\text{出力} + \text{損失}}$$
損失は銅損 \( P_c \) と鉄損 \( P_i \) の合計ですので、今回の数値を代入すると以下のようになります。
$$0.97 = \frac{10{,}000}{10{,}000 + P_c + P_i}$$
ステップ3：銅損と鉄損の関係式を導く
問題文に「銅損と鉄損の比が \( 2:1 \)」とあるため、以下の関係が成り立ちます。
$$P_c = 2P_i \quad \Longleftrightarrow \quad P_i = \frac{P_c}{2} = 0.5P_c$$
つまり、銅損は鉄損の2倍です。この関係式を効率の式に代入することで、未知数を \( P_c \) だけに絞ることができます。
ステップ4：効率式に代入して式を整理する
\( P_i = 0.5P_c \) を効率の式に代入します。
$$0.97 = \frac{10{,}000}{10{,}000 + P_c + 0.5P_c} = \frac{10{,}000}{10{,}000 + 1.5P_c}$$
分母と分子を入れ替えて変形します。
$$10{,}000 + 1.5P_c = \frac{10{,}000}{0.97}$$
ステップ5：計算を完了させて銅損を求める
両辺から \( 10{,}000 \) を引きます。
$$1.5P_c = \frac{10{,}000}{0.97} – 10{,}000 = 10{,}000 \times \left(\frac{1}{0.97} – 1\right)$$
括弧内を計算します。
$$\frac{1}{0.97} – 1 = \frac{1 – 0.97}{0.97} = \frac{0.03}{0.97}$$
よって、両辺を \( 1.5 \) で割って \( P_c \) を求めます。
$$P_c = \frac{10{,}000}{1.5} \times \frac{0.03}{0.97} = \frac{10{,}000 \times 0.03}{1.5 \times 0.97} = \frac{300}{1.455} \approx 206.2\text{ W}$$
最も近い選択肢は 206 W です。
答え：(a) (2) 206 W
問題(b)の解説：変圧器の最大効率となる負荷率の求め方
ステップ1：変圧器の最大効率条件を理解する
変圧器の効率が最大になる条件は、以下の一言で表せます。
銅損（可変損失）＝ 鉄損（固定損失）のとき、効率が最大になる
この条件を理解するために、銅損と鉄損の性質を改めて確認しましょう。
| 損失の種類 | 別名 | 負荷との関係 | 具体的な原因 |
|---|---|---|---|
| 銅損 | 可変損失 | 負荷電流の2乗に比例して変化する | 巻線の抵抗による \( I^2 R \) 損 |
| 鉄損 | 固定損失 | 負荷によらず一定 | 鉄心のヒステリシス損・渦電流損 |
変圧器に流れる電流（負荷電流）が増えると銅損は増加しますが、鉄損は変わりません。効率を最大にするには、この2つの損失が等しい点を狙うことが最適となります。これは数学的にも証明できる重要な性質です。
ステップ2：負荷率 α を用いた銅損の表し方
全負荷に対する実際の負荷の割合を 負荷率 \( \alpha \) と定義します（\( 0 \leq \alpha \leq 1 \)）。
銅損は負荷電流の2乗に比例するため、負荷率 \( \alpha \) のときの銅損は次のように表せます。
$$\text{負荷率 } \alpha \text{ のときの銅損} = \alpha^2 P_c$$
一方、鉄損は負荷によらず一定なので、常に \( P_i \) のままです。
ステップ3：最大効率条件の式を立てて負荷率を計算する
最大効率の条件「銅損 ＝ 鉄損」に、負荷率 \( \alpha \) を用いた式を当てはめます。
$$\alpha^2 P_c = P_i$$
問題(a)の条件から、\( P_c = 2P_i \)（銅損は鉄損の2倍）なので、これを代入します。
$$\alpha^2 \times 2P_i = P_i$$
両辺を \( 2P_i \) で割ります。
$$\alpha^2 = \frac{P_i}{2P_i} = \frac{1}{2}$$
両辺の平方根をとります。
$$\alpha = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$$
これをパーセントで表すと \( 70.7\text{ \%} \) となります。
答え：(b) (3) 70.7 %
初心者向けポイントまとめ：変圧器の効率計算で押さえるべき3つの知識
ポイント1：効率の公式は「出力 / （出力＋損失）」
変圧器の効率は次の公式で表されます。
$$\eta = \frac{\text{出力}}{\text{出力} + \text{損失}} = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{out}} + P_c + P_i}$$
損失が小さいほど効率は高くなります。電験3種では、この公式を変形して損失を求める問題が多く出題されます。力率が \( 1.0 \) のときは皮相電力と有効電力が等しいため、定格容量（kV·A）をそのまま出力電力（W）として扱えることも覚えておきましょう。
ポイント2：銅損は「可変損失」、鉄損は「固定損失」
銅損と鉄損の違いは、電験3種の頻出知識です。
| 損失 | 特性 | 負荷率 \( \alpha \) との関係 |
|---|---|---|
| 銅損 \( P_c \) | 可変損失（負荷電流の2乗に比例） | \( \alpha^2 P_c \) |
| 鉄損 \( P_i \) | 固定損失（負荷によらず一定） | \( P_i \)（変化なし） |
銅損が「可変損失」である理由は、巻線の抵抗 \( R \) による損失 \( P = I^2 R \) が電流の2乗に比例するからです。負荷が増えると電流が増え、銅損は急激に増加します。一方、鉄損は変圧器に印加される電圧（磁束密度）によって決まるため、負荷が変わっても一定です。
ポイント3：最大効率の条件は「銅損＝鉄損」、負荷率は 1/√2 が目安
変圧器の効率が最大となるのは、可変損失（銅損）と固定損失（鉄損）が等しくなるときです。この条件を式で表すと次のようになります。
$$\alpha^2 P_c = P_i \quad \Longrightarrow \quad \alpha = \sqrt{\frac{P_i}{P_c}}$$
今回の問題では銅損が鉄損の2倍（\( P_c = 2P_i \)）であったため、最大効率となる負荷率は \( \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 70.7\text{ \%} \) となりました。もし銅損と鉄損が等しい変圧器（\( P_c = P_i \)）であれば、最大効率は全負荷（\( \alpha = 1 \)、つまり100 %）で達成されます。
この関係を覚えておくと、最大効率の条件に関するさまざまな問題に対応できます。
解法の全体像：計算の流れを振り返る
今回の問題の解法を整理すると、以下のような流れになります。
| 手順 | 内容 | 使用する公式・条件 |
|---|---|---|
| 1 | 条件の整理（定格容量・効率・力率・損失比） | 問題文から読み取る |
| 2 | 効率の公式を立式 | \( \eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{out}} + P_c + P_i} \) |
| 3 | 銅損と鉄損の関係式を導入 | \( P_c = 2P_i \) |
| 4 | 代入・変形して銅損 \( P_c \) を計算 | \( P_c \approx 206\text{ W} \) |
| 5 | 最大効率条件を立式 | \( \alpha^2 P_c = P_i \) |
| 6 | 負荷率 \( \alpha \) を計算 | \( \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 70.7\text{ \%} \) |
変圧器の効率問題は、①効率の公式を正確に立てること、②銅損と鉄損の性質（可変・固定）を理解すること、③最大効率条件（銅損＝鉄損）を知っていること、この3点がそろえば確実に解くことができます。繰り返し練習して、公式の使い方を体に染み込ませましょう。
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