電験3種の機械科目で頻出の「変圧器」に関する過去問解説です。今回は、平成20年（2008年）A問題7を取り上げます。理想変圧器の基本公式（巻数比と電圧・電流の関係）や、最大磁束と実効値の関係を理解するのに最適な問題です。
問題文と回路図の確認
図のような理想変圧器の一次側に、周波数 \( f \) [Hz] の正弦波電圧 \( V_1 \) [V] を加えたとき、鉄心内の最大磁束を \( \Phi_m \) [Wb]、一次巻線の巻数を \( N_1 \)、二次巻線の巻数を \( N_2 \) とします。このとき、最大磁束 \( \Phi_m \) [Wb] は次式で表されます。
$$\Phi_m = \left[ \text{（イ）} \right] \times \frac{V_1}{f N_1} \quad [\text{Wb}]$$
また、二次側に誘起される電圧の実効値を \( V_2 \) [V] とします。次の(1)〜(5)の問に対し、それぞれの正しい組合せを下の(1)〜(5)のうちから一つ選びます。
- 二次側に誘起される電圧 \( V_2 \) は、一次側に加える電圧 \( V_1 \) に対して、（ア）比である。
- 式中の（イ）に入るべきものはどれか。
- 二次側に誘起される電圧 \( V_2 \) の値 [V] はいくらか。
- 二次側に 7 Ω の抵抗負荷を接続したとき、一次側に流れる電流の値 [A] はいくらか。
- 二次側に 7 Ω の抵抗負荷を接続したとき、変圧器の効率 η [%] はいくらか。
問題の条件
- 一次巻線の巻数：\( N_1 = 2550 \)
- 二次巻線の巻数：\( N_2 = 85 \)
- 一次側に加える電圧の実効値：\( V_1 = 6300 \) V
- 周波数 \( f \) は任意とする。
- 変圧器は理想変圧器とし、鉄損・銅損および漏れリアクタンスの影響はないものとする。
選択肢一覧
| 選択肢 | （ア） | （イ） | （ウ） | （エ） | （オ） |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 実効値 | \( 1/4.44 \) | 210 | 1.0 | 100 |
| 2 | 実効値 | \( 1/(2\pi) \) | 210 | 1.0 | 100 |
| 3 | 最大値 | \( 1/(2\pi) \) | 105 | 0.25 | 100 |
| 4 | 実効値 | \( \sqrt{2}/(2\pi) \) | 105 | 0.25 | 100 |
| 5 | 最大値 | \( 1/4.44 \) | 30 | 0.25 | 100 |
（注）必要であれば、次の値を用いて計算せよ。\( \pi \approx 3.1416 \)、\( \sqrt{2} \approx 1.414 \)、\( \dfrac{1}{\pi} \approx 0.3183 \)、\( \dfrac{1}{2\pi} \approx 0.1592 \)、\( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \)、\( \dfrac{1}{2\pi\sqrt{2}} \approx 0.1125 \)
解説スライド
最大磁束の式と係数の導出（ア・イ）
電圧の実効値と最大値の関係（ア）
問題文で与えられている一次電圧 \( V_1 = 6300 \) V は実効値（RMS）です。単相交流の正弦波において、実効値 \( V_1 \) と最大値 \( V_{1\text{max}} \) の間には以下の関係があります。
$$V_{1\text{max}} = \sqrt{2}\, V_1$$
したがって、（ア）には「実効値」が入ります。与えられた \( V_1 \) が実効値であるため、最大値への換算に \( \sqrt{2} \) を乗じる必要があります。
変圧器の基本式から係数を導出（イ）
変圧器の一次側に誘起される起電力の最大値 \( E_{1\text{max}} \) は、ファラデーの電磁誘導の法則より以下の基本式で表されます。
$$E_{1\text{max}} = 2\pi f N_1 \Phi_m$$
理想変圧器では、一次側に加える電圧の最大値 \( V_{1\text{max}} \) と誘起起電力の最大値 \( E_{1\text{max}} \) は等しくなるため、\( E_{1\text{max}} = V_{1\text{max}} \) となります。これを最大磁束 \( \Phi_m \) について解きます。
$$V_{1\text{max}} = 2\pi f N_1 \Phi_m \quad \Longrightarrow \quad \Phi_m = \frac{V_{1\text{max}}}{2\pi f N_1}$$
ここで、\( V_{1\text{max}} = \sqrt{2}\, V_1 \) を代入して実効値 \( V_1 \) で表します。
$$\Phi_m = \frac{\sqrt{2}\, V_1}{2\pi f N_1} = \frac{\sqrt{2}}{2\pi} \times \frac{V_1}{f N_1} \quad [\text{Wb}]$$
よって、（イ）の係数は \( \dfrac{\sqrt{2}}{2\pi} \) となります。
ポイント：係数の使い分け
- 与えられた電圧が実効値のとき → 係数は \( \dfrac{\sqrt{2}}{2\pi} \)
- 与えられた電圧が最大値のとき → 係数は \( \dfrac{1}{2\pi} \)
参考：逆に \( V_1 \) を求める式は \( V_1 = \dfrac{2\pi}{\sqrt{2}} \times f \times N_1 \times \Phi_m \) となります。
二次電圧の計算（ウ）
巻数比（変圧比）の公式
理想変圧器において、一次電圧と二次電圧の比は巻数比に等しくなります。
$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{N_2}{N_1} \quad \Longrightarrow \quad V_2 = \frac{N_2}{N_1} \times V_1$$
数値を代入して計算
与えられた数値（\( N_1 = 2550 \)、\( N_2 = 85 \)、\( V_1 = 6300 \) V）を代入します。
$$V_2 = \frac{85}{2550} \times 6300 = 210 \quad [\text{V}]$$
よって、（ウ）は 210 V となります。一次側より二次側の巻数が少ないため、電圧が下がる「降圧変圧器」であることが確認できます。
二次電流・一次電流の計算（エ・オ）
オームの法則による二次電流の算出（オ）
二次側には 7 Ω の抵抗が接続されており、二次電圧 \( V_2 \) は先ほど求めた 210 V です。オームの法則より、二次電流 \( I_2 \)（負荷電流）を計算します。
$$I_2 = \frac{V_2}{R} = \frac{210}{7} = 30 \quad [\text{A}]$$
よって、（オ）は 30 A となります。
電流と巻数比の関係（エ）
理想変圧器では損失がないため、一次側の電力と二次側の電力は等しくなります（電力保存則：\( V_1 I_1 = V_2 I_2 \)）。このことから、電流の比は巻数比の逆比になります。
$$\frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1} \quad \Longrightarrow \quad I_1 = \frac{N_2}{N_1} \times I_2$$
数値を代入します。
$$I_1 = \frac{85}{2550} \times 30 = 1.0 \quad [\text{A}]$$
よって、（エ）は 1.0 A となります。
チェック：電力保存の確認
- 一次側電力：\( V_1 I_1 = 6300 \times 1.0 = 6300 \) W
- 二次側電力：\( V_2 I_2 = 210 \times 30 = 6300 \) W
両者が一致するため、計算結果が正しいことが確認できます。理想変圧器では損失がなく、効率は 100% です。
正解と各空欄のまとめ
計算結果の一覧
| 空欄 | 求めるもの | 計算式・根拠 | 答え |
|---|---|---|---|
| （ア） | V1 の種別 | 問題文で与えられた電圧は実効値 | 実効値 |
| （イ） | 最大磁束の係数 | \( V_{1\text{max}} = \sqrt{2}V_1 \) より \( \sqrt{2}/(2\pi) \) | \( \dfrac{\sqrt{2}}{2\pi} \) |
| （ウ） | V2 [V] | \( (85/2550) \times 6300 = 210 \) | 210 V |
| （エ） | I1 [A] | \( (85/2550) \times 30 = 1.0 \) | 1.0 A |
| （オ） | I2 [A] | \( 210/7 = 30 \) | 30 A |
この組合せに該当するのは、選択肢の （3） となります。
正解：（3）
（ア）実効値 （イ）\( \dfrac{\sqrt{2}}{2\pi} \) （ウ）210 V （エ）1.0 A （オ）30 A
理想変圧器の重要公式まとめ
電圧・電流・磁束の関係式
今回の問題で使用した理想変圧器の基本公式を整理します。試験では以下の3つの関係式を確実に使いこなせるようにしておきましょう。
| 公式 | 式 | 備考 |
|---|---|---|
| 最大磁束（実効値から） | \( \Phi_m = \dfrac{\sqrt{2}}{2\pi} \times \dfrac{V_1}{fN_1} \) | V1 が実効値のとき |
| 最大磁束（最大値から） | \( \Phi_m = \dfrac{1}{2\pi} \times \dfrac{V_{1\text{max}}}{fN_1} \) | V1max が最大値のとき |
| 電圧比（巻数比） | \( \dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{N_2}{N_1} \) | 理想変圧器の電圧比 |
| 電流比（逆比） | \( \dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{N_2}{N_1} \) | 電力保存則から導出 |
| 電力保存 | \( V_1 I_1 = V_2 I_2 \) | 理想変圧器では損失なし |
試験対策のポイントと注意点
最大磁束の式を導出する際は、与えられた電圧が実効値か最大値かを必ず確認しましょう。電験3種の問題では実効値で与えられることがほとんどですが、問題文をよく読んで判断することが重要です。また、電流の比は電圧の比と逆比になる点を混同しないよう注意してください。電圧は巻数比に比例し、電流は巻数比に反比例します。
理想変圧器の問題では、電力保存則（\( V_1 I_1 = V_2 I_2 \)）を使って計算結果を検証する習慣をつけると、ミスを防ぐことができます。今回の問題でも、一次側電力と二次側電力がともに 6300 W で一致することを確認できました。
コメント