誘導機24【電験3種 機械】比例推移と電圧変更時のトルクとは？平成27年 B問題15 完全解説

電験3種（第三種電気主任技術者試験）の機械科目において、「比例推移＋T∝V²」の組み合わせは巻線形誘導電動機B問題の総仕上げ的テーマです。本記事では、平成27年度 B問題15を、はじめての方でも確実に解けるように丁寧に解説します。

(a)は比例推移 \( r_2/s = \) 一定で滑りを7 %に。(b)は「滑りも抵抗も同じなら、トルクは電圧の2乗に比例」で定格トルクを \( (200/220)^2 \) 倍。誘導機の2大法則が1問に詰まっています。

平成27年度 機械科目 B問題15：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「平成27年度 第三種電気主任技術者試験」機械科目 B問題15

電験3種 機械科目 【誘導機】 平成27年度 B問題15

定格出力 15 kW、定格電圧 220 V、定格周波数 60 Hz、6 極の三相巻線形誘導電動機がある。二次巻線は星形（Y）結線でスリップリングを通して短絡されており、各相の抵抗値は 0.5 Ω である。この電動機を定格電圧、定格周波数の電源に接続して定格出力（このときの負荷トルクを Tn とする）で運転しているときの滑りは 5 %であった。計算に当たっては、L 形簡易等価回路を採用し、機械損及び鉄損は無視できるものとして、次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 速度を変えるために、この電動機の二次回路の各相に 0.2 Ω の抵抗を直列に挿入し、上記と同様に定格電圧、定格周波数の電源に接続して上記と同じ負荷トルク Tn で運転した。このときの滑りの値 [%] として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

(1) 3.0　　(2) 3.6　　(3) 5.0　　(4) 7.0　　(5) 10.0

(b) 電動機の二次回路の各相に上記(a)と同様に 0.2 Ω の抵抗を直列に挿入したままで、電源の周波数を変えずに電圧だけを 200 V に変更したところ、ある負荷トルクで安定に運転した。このときの滑りは上記(a)と同じであった。この安定に運転したときの負荷トルクの値 [N・m] として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

(1) 99　　(2) 104　　(3) 106　　(4) 109　　(5) 114

出題のポイント：抵抗は横へ、電圧は縦へ

この問題は誘導機の2大法則を1問で使わせます。(a)は比例推移、(b)は T∝V²——どちらもトルク曲線を動かす操作ですが、動かす方向が違います。

設問	操作	曲線の動き	使う関係
(a)	二次抵抗を増やす	横（滑りが大きい側）へスライド	r2/s＝一定
(b)	電圧を下げる	縦（トルクが小さい側）へ縮む	T∝V2

「抵抗は横、電圧は縦」——この対比を頭に置いておけば、どちらの関係を使うべきかで迷いません。

(a)：比例推移で滑りを移す

(b)：定格トルクを出してから電圧の2乗で縮める

(b)の「ある負荷トルクで安定に運転した」をどう読むか

この一文は、慣れないと戸惑うところです。電圧を下げたのに、なぜ「同じ滑り」で運転できるのか——負荷側が変わったからです。

電圧を200 V に下げると、トルク曲線全体が (200/220)²＝0.826 倍に縮みます。もし負荷トルクが T_n のままなら、釣り合う点は滑りの大きい側へ移動するはずです。

ところが問題文は「このときの滑りは(a)と同じであった」と言っています。滑りが変わらなかったということは、負荷トルクのほうが電圧の2乗に合わせて下がったということ——ファンやポンプのような、速度が下がればトルクも下がる負荷を想定していると読めます。

	(a)の状態	(b)の状態
電圧	220 V	200 V
二次抵抗	0.7 Ω	0.7 Ω（同じ）
滑り	0.07	0.07（同じ）
トルク	Tn＝125.7 N·m	104 N·m（0.826倍）
回転速度	1 116 min−1	1 116 min−1（同じ）

滑りが同じなら回転速度も同じです。速度が変わらないのにトルクだけが減った——出力もそのぶん減っています。「電圧を下げると出せるトルクが減る」という当たり前の結論を、数値で確かめる問題だと言えます。

T＝kV²s という近似式で見ると一目瞭然

(a)と(b)は、じつは1本の式で説明できます。安定運転域でのトルクの近似式です。

設問	何が一定か	何を動かしたか	何が変わるか
(a)	T と V	r2（k が 1/1.4 倍）	s が1.4倍
(b)	s と r2	V（0.909倍）	T が0.826倍

(a)は「T と V を固定して k と s を動かす」、(b)は「k と s を固定して V と T を動かす」——同じ式の中で、固定する変数と動かす変数を入れ替えているだけです。

この見方ができると、B問題の(a)(b)が別々の知識に見えなくなります。1本の式を持っていれば、あとはどの変数が固定されているかを問題文から読み取るだけ——誘導機のB問題は、たいていこの構造をしています。

「二次巻線はY結線でスリップリングを通して短絡されている」

問題文のこの一文には、計算に必要な情報が3つ詰まっています。読み飛ばすと、抵抗の扱いを間違えます。

記述	意味すること	計算への影響
Y結線	相電流＝線電流	1相分の回路をそのまま扱える（√3 の換算が要らない）
スリップリングを通して	巻線形である	外部抵抗を挿入できる＝比例推移が使える
短絡されている	もとの状態では外部抵抗ゼロ	二次抵抗は巻線自身の0.5 Ω だけ

とくに「短絡されている」が重要です。これがあるから、定格運転時の二次抵抗が0.5 Ω だと確定します。もし最初から外部抵抗が入っていたら、(a)の計算の出発点が変わってしまいます。

「各相の抵抗値は0.5 Ω」という書き方も、Y結線であることと合わせて読む必要があります。三相分をまとめた値ではなく、1相あたりの値——だから0.2 Ω を「各相に直列に挿入」すれば、1相の合計が0.7 Ω になります。

三相の問題では「1相あたりか三相合計か」を必ず確認するのが鉄則です。本問は比を取るだけなので影響しませんが、抵抗値から電力を計算する問題では、ここを取り違えると3倍の誤差が出ます。

15 kW・6極という機械の姿

この電動機がどんなものかを、与えられた数値から読んでみましょう。答えの妥当性チェックにもなります。

6極の巻線形で15 kW——低速で大きなトルクが必要な用途を想定した機械です。巻線形であることと合わせると、始動も重い用途（クレーン・コンベヤ・攪拌機など）が思い浮かびます。

定格滑りが5 %というのも、この種の機械としては標準的です。二次抵抗をやや大きめに設計して始動トルクを稼いでいる——そのぶん定格滑りが大きくなり、効率は少し犠牲になっています。

(a)で外部抵抗を入れると滑りが7 %。回転速度は1 140 から1 116 min⁻¹ へ、わずか24 min⁻¹ しか下がりません——速度制御としては効きが弱いということです。大きく減速したければ、もっと大きな抵抗が要ります。

★同じ諸元の機械が別の年度でも出ている

定格出力15 kW・定格電圧220 V・定格周波数60 Hz・6極・定格滑り5 %——この諸元の機械は、平成21年度と平成27年度の2つのB問題に登場します。聞いていることは違いますが、同じ機械です。

	平成21年度 B問題15	平成27年度 B問題15
機械の諸元	15 kW・220 V・60 Hz・6極	同じ（巻線形と明記）
定格滑り	5 %	5 %（同じ）
定格トルク	125.7 N·m	125.7 N·m（同じ）
(a)で聞くこと	発生トルク	抵抗挿入後の滑り
(b)で聞くこと	半負荷時の効率	電圧低下時の負荷トルク

平成27年度の(b)では、この125.7 N·m を出発点にして電圧の2乗を掛けます。平成21年度の(a)で求めるのが、まさにその125.7 N·m——2つの問題は地続きです。

同じ諸元で違う切り口を問う——出題者が「この機械なら、こういうことも聞ける」と考えた結果でしょう。2問を並べて解くと、1台の電動機についてトルク・効率・比例推移・電圧依存性のすべてを見たことになります。

諸元が同じなら、途中の値も同じです。N_s＝1 200、N＝1 140、ω＝119.4、ω_s＝125.7——この4つの数字は、どちらの問題でも共通して使います。