直流機18【電験3種 機械】電機子電圧による速度制御とは？平成23年度 B問題16 完全解説

電験3種の機械科目のB問題で頻出の直流他励電動機の速度制御。本記事では、平成23年度 B問題16で問われた、電機子電圧を変えて速度制御するときの電機子電圧を(a)(b)の2問で求める計算問題を解説します。

カギは3つの関係式。電機子電圧 \( V=E+I_aR_a \)、起電力 \( E\propto \phi n \)（磁束×回転数）、トルク \( T\propto \phi I_a \)（磁束×電機子電流）です。

平成23年度 機械科目 B問題16：問題文と選択肢

(a)は代入するだけ、(b)は2つの変化を分けて掛けるのが要点です。

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「平成23年度 第三種電気主任技術者試験」機械科目 B問題16

電験3種 機械科目 【直流機】 平成23年度 B問題16

負荷に直結された他励直流電動機を、電機子電圧を変化させることによって速度制御することを考える。電機子抵抗が 0.4 [Ω]、界磁磁束は界磁電流に比例するものとして、次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 界磁電流を I_f1 [A] とし、電動機が 600 [min⁻¹] で回転しているときの誘導起電力は 200 [V] であった。このとき電機子電流が 20 [A] 一定で負荷と釣り合った状態にするには、電機子電圧を何 [V] に制御しなければならないか、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
(1) 8　(2) 80　(3) 192　(4) 200　(5) 208

(b) 負荷は、トルクが一定で回転速度に対して機械出力が比例して上昇する特性であるとして、磁気飽和、電機子反作用、機械系の損失などは無視できるものとする。電動機の回転速度を 1320 [min⁻¹] にしたときに、界磁電流を I_f1 [A] の 1/2 にして、電機子電流がある一定の値で負荷と釣り合った状態にするには、電機子電圧を何 [V] に制御しなければならないか、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
(1) 216　(2) 228　(3) 236　(4) 448　(5) 456

出題のポイント：(b)は「2つの変化」を分けて掛ける

(a)は電圧の式に代入するだけの1行問題です。勝負は(b)——界磁電流を半分にすると回転速度を2.2倍にするという2つの変化が同時に起きるので、それぞれが何にどう効くかを分けて考える必要があります。

界磁電流を半分にすると磁束も半分（問題文に「界磁磁束は界磁電流に比例する」とあります）。すると3本柱のうちE の式と T の式の両方に影響します。

変化	影響を受ける式	その結果
φ が 1/2	T＝kTφIa	トルク一定を保つには Ia が2倍（20 A → 40 A）
φ が 1/2	E＝kEφn	同じ速度なら E は 1/2 になる
n が 2.2倍	E＝kEφn	同じ磁束なら E は 2.2倍になる
両方あわせて	E ∝ φn	0.5 × 2.2 ＝ 1.1倍 ⇒ E＝220 V

E は φ と n の「積」に比例するので、2つの変化はそのまま掛け算になります。0.5×2.2＝1.1——磁束を半分にしたのに速度を2.2倍にしたので、差し引き E は1割だけ増えた、という読み方です。

(a)の解説：電圧の式に代入するだけ

(a)の選択肢を検算する

選択肢	その値になる計算	判定
(1) 8	IaRa＝20×0.4	抵抗降下だけを答えた（E を足し忘れ）
(2) 80	E×Ra＝200×0.4	掛ける相手を取り違えた（電流ではなく起電力に抵抗を掛けた）
(3) 192	200−8	符号を逆にした（発電機の式 V＝E−IaRa を使った）
(4) 200	E そのもの	抵抗降下を無視した
(5) 208	200＋8	正解

5つの選択肢が「足す・引く・掛ける・無視する」を全部並べてあります。電動機は V＞E という不等式を先に書いておけば、(1)(2)(3)は一瞬で消えます。

(b)の解説：φ・I_a・E の順に決める

(b)の選択肢はすべて「どちらかを忘れた値」

(b)の5つの選択肢は「磁束1/2を忘れたか」「電流2倍を忘れたか」の4通り＋正解という、非常にきれいな構成になっています。

選択肢	E’ の値	Ia‘ の値	忘れたもの
(1) 216	200 V（換算せず）	40 A	E の換算を丸ごと忘れた（200＋16）
(2) 228	220 V	20 A	電流2倍を忘れた（220＋8）
(3) 236	220 V	40 A	正解
(4) 448	440 V	20 A	磁束1/2も電流2倍も忘れた（200×2.2＋8）
(5) 456	440 V	40 A	磁束1/2を忘れた（200×2.2＋16）

(4)と(5)は440 V 台と桁が違うので、「電機子電圧が2倍以上になるのはおかしい」という感覚があれば外せます。速度は2.2倍になりますが、同時に磁束を半分にしているのですから、必要な電圧が倍増することはありません。

残る(1)(2)(3)は216・228・236 と接近しているので、こちらは計算で詰めるしかありません。「φ・I_a・E の3つを順に書き出す」手順を守れば取りこぼしません。

なぜ弱め界磁で高速運転するのか

この問題の設定——界磁を弱めて速度を上げる——は、実機の定出力領域そのものです。電機子電圧には上限があるので、定格電圧まで使い切ったあとに速度を伸ばすには磁束を削るしかありません。

	(a)の運転点	(b)の運転点
回転速度	600 min-1	1320 min-1（2.2倍）
磁束	φ	φ/2
電機子電流	20 A	40 A（2倍）
トルク T ∝ φIa	一定	一定（0.5×2＝1）
機械出力 P ∝ Tn	基準	2.2倍
電機子電圧	208 V	236 V（1.13倍）

電圧を13 % 上げただけで出力が2.2倍になっています。これが弱め界磁の効果です。ただし電機子電流が2倍になっているので、銅損は4倍（I_a²R_a＝40²×0.4＝640 W）。発熱の制約から、弱め界磁で伸ばせる速度には限界があることも同時に見えてきます。

なお本問の負荷は「トルク一定で、回転速度に対して機械出力が比例して上昇する」と書かれています。P＝Tω なので、トルクが一定なら出力は速度に比例する——同じことを2通りに言っているだけで、条件が2つあるわけではありません。