三相交流の√3はどこから来るのか｜線間電圧と相電圧を二度と取り違えないために

三相交流の計算で手が止まる原因は、ほぼ1つに絞れます。√3を掛けるのか割るのか、どちらの電圧・電流に掛けるのかが曖昧なままだからです。

√3は暗記する数ではなく、120度ずれた2つのベクトルの差から出てくる数です。出どころが分かれば、掛ける先を間違えなくなります。

√3の正体

Y結線を考えます。線間電圧とは、2本の線の間の電圧——つまり2つの相電圧の差です。

相電圧どうしは120度ずれています。大きさが等しく120度ずれた2つのベクトルの差は、図を描けば底角30度の二等辺三角形になり、その長さは \( 2 \times \cos 30^\circ = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \) 倍になります。

Y結線とΔ結線

	Y（スター）結線	Δ（デルタ）結線
電圧	線間電圧 ＝ √3 × 相電圧	線間電圧 ＝ 相電圧
電流	線電流 ＝ 相電流	線電流 ＝ √3 × 相電流
覚え方	Yは電圧が√3倍	Δは電流が√3倍
位相	線間電圧が相電圧より30度進む	線電流が相電流より30度遅れる

三相電力の式

この2つを混ぜて \(\sqrt{3}V_p I_p\) としてしまう間違いが多発します。√3が付くのは線間電圧・線電流のときだけです。

なぜ √3 と 3 で一致するのか

Y結線なら \(V = \sqrt{3}V_p\)、\(I = I_p\) なので、\(\sqrt{3}VI\cos\theta = \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}V_p \cdot I_p\cos\theta = 3V_pI_p\cos\theta\)。ちゃんと一致します。Δ結線でも同様です。

Y⇄Δ変換

同じインピーダンスの素子を、Y結線からΔ結線に組み替えると消費電力は3倍になります。「Y結線でP[W]の負荷をΔに組み替えたら何Wか」という問題は頻出で、答えは3Pです。

解くときの型

三相の計算は、一相分に落として解き、最後に戻すのが定石です。三相のまま考えようとすると混乱します。

V結線でも√3が出てくる

Δ結線から変圧器を1台外した形がV結線です。3台のうち2台で三相を送れますが、容量は落ちます。

ここでも√3は「120度ずれたものを合成した結果」として現れます。V結線は法規の施設管理計算でも問われるので、0.866（利用率）と0.577（出力比）は数字で覚えておくと速いです。

計算でよく使う√の値

値	近似	使う場面
\(\sqrt{2}\)	1.414	実効値と最大値の換算
\(\sqrt{3}\)	1.732	三相の線間・線電流
\(1/\sqrt{3}\)	0.577	相電圧を線間から出す／V結線の出力比
\(\sqrt{3}/2\)	0.866	V結線の利用率／\(\cos30^\circ\)
\(\sqrt{3}\times\sqrt{3}\)	3	Y⇄Δの電力比

電卓の条件は電卓の選び方にまとめました。開平計算（√）ができないと三相の計算は成立しません。

三相電力の測定——二電力計法

三相の電力を測るとき、電力計は3台ではなく2台で足ります。これが二電力計法です。理論の電気及び電子計測でも三相交流でも出てきます。

2台で済む理由は、三相3線式では3つの線電流の和がゼロだからです。2つ分かれば残り1つは決まるので、測る必要がありません。ここにも「三相は独立変数が2つ」という三相の性質が効いています。

▶ 【理論】平成23年度 B問題17（電流力計形電力計と二電力計法）
▶ 【理論】平成26年度 A問題14（対称三相回路の一電力計法）

まとめ

・√3は120度ずれたベクトルの差から出る（\(2\cos30^\circ\)）
・Yは電圧が√3倍、Δは電流が√3倍
・断りがなければ電圧は線間電圧
・\(P=\sqrt{3}VI\cos\theta\)（線間・線電流）＝\(3V_pI_p\cos\theta\)（相電圧・相電流）
・\(Z_\Delta = 3Z_Y\)。Δに組み替えると電力は3倍
・一相分に落として解き、最後に戻す

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