今回は平成18年度 電力科目 B問題12を解説します。水が充満して流れる水管で、内径2.5m・流速4.0m/s・圧力25kPaの点Aに対し、30m低い位置にある内径2.0mの点Bでの流速vと圧力pを求める問題です。
使う道具は2つだけ。流速は連続の定理 v∝1/d²、圧力はベルヌーイの定理 h＋p/(ρg)＋v²/(2g)＝一定。落差30mぶんの位置水頭がそのまま圧力水頭に化ける、というイメージがつかめれば完答できます。
出題のポイント
平成18年度 電力科目 B問題12：問題文と選択肢
まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。
電験3種 電力科目 【水力】 平成18年度 B問題12
図の水管内を水が充満して流れている。点Aでは管の内径2.5[m]で、これより30[m]低い位置にある点Bでは内径2.0[m]である。点Aでは流速4.0[m/s]で圧力は25[kPa]と計測されている。このときの点Bにおける流速v[m/s]と圧力p[kPa]に最も近い値を組み合わせたのは次のうちどれか。なお、圧力は水面との圧力差とし、水の密度は1.0×10³[kg/m³]とする。
流速v[m/s] 圧力p[kPa] (1) 4.0 296 (2) 5.0 296 (3) 5.0 307 (4) 6.3 307 (5) 6.3 319
ポイント解説：流速は連続の定理、圧力はベルヌーイの定理
流速v：水が充満して流れているので、どの断面でも流量Q＝A·vが一定（連続の定理）。断面積は内径の2乗に比例するから、流速は内径の2乗に反比例する。よって vB＝vA×(dA/dB)²＝4.0×(2.5/2.0)²＝4.0×1.5625＝6.25≒6.3m/s。この時点で選択肢は(4)か(5)に絞られる。
圧力p：ベルヌーイの定理より h＋p/(ρg)＋v²/(2g)＝一定。点Bを基準面（hB＝0、hA＝30m）にとると、点Aの全水頭は 30＋25×10³/(1000×9.8)＋4.0²/(2×9.8)＝30＋2.551＋0.816＝33.367m。点Bの速度水頭は 6.25²/(2×9.8)＝1.993mなので、点Bの圧力水頭は 33.367−1.993＝31.374m。したがって p＝31.374×1000×9.8≒307×10³Pa＝307kPa。よって答えは(4)。
問題の解説
STEP1 流速（連続の定理）
Q=A·v一定、A∝d²なのでv∝1/d²。v_B=4.0×(2.5/2.0)²=6.25≒6.3m/s→(4)か(5)。
STEP2 点Aの全水頭
点Bを基準面にとる。30+25×10³/9800+4.0²/19.6=30+2.551+0.816=33.367m。
STEP3 点Bの圧力
点Bの速度水頭6.25²/19.6=1.993m。圧力水頭=33.367−1.993=31.374m→p=31.374×9800≒307kPa→(4)。
答え：(4)
💡 覚え方
連続の定理：Q=A·v=一定、A=πd²/4なのでv∝1/d²（内径が細くなると流速は2乗で速くなる）。ベルヌーイの定理：h+p/(ρg)+v²/(2g)=一定（位置水頭＋圧力水頭＋速度水頭＝全水頭）。ρg=1000×9.8=9800なので、圧力水頭[m]×9800＝圧力[Pa]。低い位置ほど位置水頭が圧力水頭に変わって圧力が高くなる。
⚠️ よくある間違い
流速は内径の1乗ではなく2乗に反比例（4.0×2.5/2.0=5.0としないこと——(2)(3)がその誤答）。圧力はPaに直す（25kPa=25×10³Pa）。基準面をどちらに取ってもよいが、位置水頭の向き（Bのほうが30m低い）を間違えない。点Bの速度水頭を引き忘れると319kPaになり(5)の誤答になる。
まとめ
| 連続の定理 | v∝1/d²→v_B=4.0×(2.5/2.0)²=6.25≒6.3m/s |
| 点Aの位置水頭 | Bを基準面として30m |
| 点Aの圧力・速度水頭 | 25×10³/9800=2.551m、4.0²/19.6=0.816m |
| 点Bの速度水頭 | 6.25²/19.6=1.993m |
| 点Bの圧力 | (33.367−1.993)×9800≒307kPa→(4) |
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