直流機11【電験3種 機械】他励電動機の回転速度とは？平成21年度 A問題2 完全解説

電験3種（第三種電気主任技術者試験）の機械科目で頻出の直流他励電動機の速度制御。本記事では、平成21年度 A問題2で問われた、入力電圧を変えたときの回転速度を求める計算問題を解説します。

カギは電機子回路の式 \( V=E+I_aR_a \) と、界磁・電機子電流が一定なら逆起電力 E は回転速度 n に比例（\( E\propto n \)）すること。E を求めて比例計算するだけです。

平成21年度 機械科目 A問題2：問題文と選択肢

抵抗降下が両方の状態で同じであることを確かめながら進めます。

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「平成21年度 第三種電気主任技術者試験」機械科目 A問題2

電験3種 機械科目 【直流機】 平成21年度 A問題2

電機子回路の抵抗が 0.20 [Ω] の直流他励電動機がある。励磁電流、電機子電流とも一定になるように制御されており、電機子電流は 50 [A] である。回転速度が 1200 [min⁻¹] のとき、電機子回路への入力電圧は 110 [V] であった。励磁電流、電機子電流を一定に保ったまま電動機の負荷を変化させたところ、入力電圧が 80 [V] となった。このときの回転速度 [min⁻¹] の値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
ただし、電機子反作用はなく、ブラシの抵抗は無視できるものとする。

(1) 764　　(2) 840　　(3) 873　　(4) 900　　(5) 960

出題のポイント：抵抗降下は両方の状態で同じ10 V

この問題は「電機子電流が一定に制御されている」という条件が主役です。電流が変わらないということは、抵抗降下 I_aR_a＝50×0.20＝10 V も変わらない——つまりどちらの状態でも端子電圧から10 V を引けば逆起電力になります。

あとは励磁電流も一定なので磁束 φ も一定。E＝k_Eφn より n ∝ E で比を取るだけです。

	入力電圧110 V のとき	入力電圧80 V のとき
電機子電流	50 A	50 A（一定に制御）
抵抗降下 IaRa	10 V	10 V（同じ）
逆起電力 E＝V−IaRa	100 V	70 V
磁束 φ	一定	一定
回転速度 n ∝ E	1200 min-1	?

端子電圧の比では答えが合わない

端子電圧の比は 80/110＝0.727 ですが、逆起電力の比は 70/100＝0.700。この違いが答えを分けます。

なぜ比が食い違うのか——抵抗降下の10 V は「速度を作る仕事をしない、捨てられる電圧」で、しかも両方から同じだけ引かれるからです。もとの値が小さいほうが、同じ量を引かれたときに割合として大きく減ります（110から10を引くと9 % 減、80から10を引くと12.5 % 減）。だから逆起電力の比のほうが小さくなるのです。

選択肢は「引く／引かない」の全パターン

この問題の選択肢は、分子と分母それぞれで抵抗降下を引いたか引かなかったかの4通りがそのまま並んでいます。

選択肢	計算	分子	分母
(1) 764	1200×70/110	引いた（E2）	引かなかった（V1）
(2) 840	1200×70/100	引いた	引いた
(3) 873	1200×80/110	引かなかった	引かなかった
(4) 900	自然な計算では出ない	—	—
(5) 960	1200×80/100	引かなかった（V2）	引いた（E1）

「両方引く」以外の3通りが全部選択肢に置いてあるという、狙いのはっきりした構成です。E₁ と E₂ を先に書き出してしまえば、分子分母を取り違えることはありません。途中式に端子電圧が残っていたら間違い——そう決めておくと確実です。

なぜ他励電動機は「電流一定」に制御できるのか

問題文の「励磁電流、電機子電流とも一定になるように制御されており」という設定は、他励電動機だからこそ成り立ちます。界磁回路と電機子回路が別電源なので、片方をいじってももう片方に影響しないからです。

分巻ではこうはいきません。界磁が端子に並列なので、端子電圧を110 V から80 V へ下げると界磁電流も一緒に下がり、磁束が減ってしまいます。磁束が減れば n＝E/(k_Eφ) の分母まで動くので、「E の比＝速度の比」という単純な計算が使えなくなります。

	他励（本問）	分巻で同じことをすると
端子電圧を下げる	電機子だけに効く	電機子と界磁の両方に効く
磁束 φ	一定に保てる	端子電圧に比例して減る
速度 n＝E/(kEφ)	E の比だけで決まる	分子も分母も動いて複雑
トルク T＝kTφIa	一定に保てる	磁束が減るぶん低下する

電機子電流を一定にするほうは、電流を測ってフィードバックする電流制御で実現します。実機ではサイリスタ整流器やチョッパの点弧角・デューティを調整して、電機子電圧を電流が一定になるように動かす——これが本問で「入力電圧が80 V となった」という記述の中身です。

この運転は電気車の「定トルク制御」そのもの

トルクを一定に保ったまま速度だけを変える運転は、電気車や巻上機の基本的な運転パターンです。本問の2つの状態を比べると、その特徴がはっきり見えます。

	1200 min-1 のとき	840 min-1 のとき
電機子電流	50 A	50 A（同じ）
トルク T ∝ φIa	一定	一定（同じ）
機械出力 P＝EIa	100×50＝5.0 kW	70×50＝3.5 kW
電気入力 P＝VIa	110×50＝5.5 kW	80×50＝4.0 kW
銅損 Ia2Ra	0.5 kW	0.5 kW（同じ）
効率 E/V	90.9 %	87.5 %

銅損だけが変わらないのがポイントです。電流が同じなので発熱量も同じ——ところが出力は3.5 kW まで落ちているので、相対的に損失の割合が増えて効率が下がります。抵抗制御で低速運転すると効率が悪いと言われるのは、まさにこの構造によるものです。

だからこそ実機では、抵抗で電圧を落とすのではなく、チョッパやインバータで電圧そのものを作る方式へ移りました。抵抗制御なら捨てた電圧がそのまま熱になりますが、電圧を作る方式なら「使わない電力はそもそも取り込まない」ので、低速でも効率が落ちません。

★同一問題：令和6年度上期 A問題2として15年ぶりに再出題

この問題は令和6年度上期 A問題2としてそのまま再出題されています。数値も選択肢の並びも、正解の番号まで完全に一致という、珍しいほど完全な再出題です。

	平成21年度 A問題2（本問）	令和6年度上期 A問題2
電機子回路の抵抗	0.20 Ω	0.20 Ω（同じ）
電機子電流	50 A	50 A（同じ）
条件1	1200 min-1・110 V	同じ
条件2	80 V	同じ
選択肢	764／840／873／900／960	まったく同じ並び
正解	(2) 840	(2) 840（番号も同じ）

15年の間隔を置いて一字一句そのまま出題されたということは、「逆起電力で比を取る」という1点が、出題側にとってそれだけ本質的だということです。

選択肢が「引く／引かない」の全4通り（764＝70/110、840＝70/100、873＝80/110、960＝80/100）になっているのも同じで、出題者は「E で計算したかどうか」だけを見ています。逆に言えば、ここさえ外さなければ確実に1点になる問題です。

「古い年度だから」と過去問を切り捨てるのが危険だという、決定的な実例でもあります。平成一桁〜20年代前半の問題がそのまま令和に出ることは珍しくないので、年度で選別せずに論点で網羅するのが確実な学習法です。

負荷が変わったのに電流が一定？

問題文には「電機子電流を一定に保ったまま電動機の負荷を変化させた」とあります。一見すると矛盾しているようですが、これは電流制御をかけているという意味です。

T＝k_TφI_a で φ も I_a も一定なら、電動機が出すトルクも一定です。したがって「負荷を変化させた」というのは、負荷が要求するトルクではなく、負荷の回転速度特性を変えたと読むべきです。実際、電動機は同じトルクのまま、速度だけが1200→840 min^-1 に落ちています。

	変更前	変更後
トルク T ∝ φIa	一定	一定（同じ）
回転速度 n	1200 min-1	840 min-1
機械出力 P＝EIa	100×50＝5.0 kW	70×50＝3.5 kW
電気入力 P＝VIa	110×50＝5.5 kW	80×50＝4.0 kW
銅損 Ia2Ra	0.5 kW	0.5 kW（同じ）
効率 E/V	90.9 %	87.5 %

トルク一定・速度低下 ⇒ 出力低下という、定トルク領域の速度制御そのものです。銅損は電流が同じなので変わらないので、出力が減るほど効率は悪くなります。低速で運転すると効率が落ちるのは、この構造から来ています。