自動制御27【電験3種 機械】積分器を負帰還すると一次遅れ！折れ点は1/T=5rad/s・低域20dB 令和7年度下期 B問題18 完全解説

今回は令和7年度下期 機械科目 B問題18を解説します。問17との選択問題で、積分要素を負帰還したブロック線図の伝達関数(a)と、そのボード線図のゲイン特性(b)を求めます。

鍵は帰還を取り出している場所です。K の後（出力C）ではなく、積分器の出力＝Kの手前から戻しています。ここを正しく読めば 積分器の負帰還＝一次遅れという定番の形になり、(b)は低域20dB・折れ点 1/T を確認するだけで決まります。

出題のポイント

令和7年度下期 機械科目 B問題18：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「令和7年度下期 第三種電気主任技術者試験」機械科目 B問題18

電験3種 機械科目 【自動制御】 令和7年度下期 B問題18

　図に示すように，フィードバック接続を含んだブロック線図がある．このブロック線図において，T＝0.2s，K＝10としたとき，次の(a)及び(b)の問に答えよ．

　ただし，ωは角周波数[rad/s]を表す．

　（a）入力をR(jω)，出力をC(jω)とする全体の周波数伝達関数W(jω)として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ．

　（b）次のボード線図には，正確なゲイン特性を実線で，その折線近似ゲイン特性を破線で示し，横軸には特に折れ点角周波数の数値を示している．上記(a)の周波数伝達関数W(jω)のボード線図のゲイン特性として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ．ただし，横軸は角周波数ωの対数軸であり，−20[dB/dec]とは，ωが10倍大きくなるに従って|W(jω)|が−20dB変化する傾きを表している．

図に示すように、フィードバック接続を含んだブロック線図がある。このブロック線図において、T＝0.2s、K＝10としたとき、次の(a)及び(b)の問に答えよ。

ただし、ωは角周波数[rad/s]を表す。

（a）入力をR(jω)、出力をC(jω)とする全体の周波数伝達関数W(jω)として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

(1) 1 / (1＋j0.2ω)
(2) 10 / (1＋j0.2ω)
(3) 1 / (1＋j5ω)
(4) 50ω / (1＋j5ω)
(5) j2ω / (1＋j0.2ω)

（b）次のボード線図には、正確なゲイン特性を実線で、その折線近似ゲイン特性を破線で示し、横軸には特に折れ点角周波数の数値を示している。上記(a)の周波数伝達関数W(jω)のボード線図のゲイン特性として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。ただし、横軸は角周波数ωの対数軸であり、−20[dB/dec]とは、ωが10倍大きくなるに従って|W(jω)|が−20dB変化する傾きを表している。

ポイント解説：帰還の取り出し口はKの手前——積分器の負帰還は一次遅れ

この問題で真っ先に確認すべきは「帰還の線がどこから出ているか」です。図の分岐点は積分器 1/(jωT) の出口にあり、K の手前から線が下りて第1加合点の「−」に戻っています。K はループの外側（後ろ）に直列にぶら下がっているだけ——ここを読み違えると最後まで合いません。

そこで積分器の出力を X と置きます。加合点の出力は E ＝ R − X、積分器を通って X ＝ E/(jωT)。この2本を連立すると X(jωT) ＝ R − X、すなわち X ＝ R/(1＋jωT) になります。

積分要素 1/(jωT) を単位帰還（ゲイン1）で負帰還すると、きれいに一次遅れ 1/(1＋jωT) になる——これは制御工学の超定番の変形です。積分器そのものは低周波で無限大の利得を持ちますが、負帰還をかけると低周波の利得が1に抑えられ、高周波では元の積分特性（−20dB/dec）が残るのです。

最後にループの外の K を掛けます。W ＝ C/R ＝ K/(1＋jωT) ＝ 10/(1＋j0.2ω)。答えは(a)(2)です。

(b)は一次遅れのボード線図の型そのもの。①低周波（ω≪1/T）では |W| ≒ K ＝ 10 ⇒ 20log₁₀10 ＝ 20 dB の水平線、②折れ点角周波数は ω ＝ 1/T ＝ 1/0.2 ＝ 5 rad/s、③そこから先は −20 dB/dec で下がる。この3点を満たすのは(2)だけです。

問題の解説

STEP1　（a）帰還の取り出し口を確認する

分岐点は積分器の出口＝K の手前。したがってK は帰還ループの外。

積分器の出力を X とすると C ＝ K X。

STEP2　（a）ループの式を立てる

E ＝ R − X（第1加合点は「−」）。

X ＝ E/(jωT) ＝ (R − X)/(jωT)。

STEP3　（a）Xについて解く

jωT・X ＝ R − X ⇒ X(1＋jωT) ＝ R。

X ＝ R/(1＋jωT)——積分器の単位負帰還は一次遅れ。

STEP4　（a）Kを掛けて答えを出す

W ＝ C/R ＝ K/(1＋jωT)。

T＝0.2、K＝10 を代入して W ＝ 10/(1＋j0.2ω) ⇒ (2)。

STEP5　（b）3つの特徴でグラフを絞る

低周波の利得：|W| → 10 ⇒ 20log₁₀10 ＝ 20 dB ⇒ 0 dB から始まる(3)(4)(5)は消える。

折れ点角周波数：ω ＝ 1/T ＝ 1/0.2 ＝ 5 rad/s ⇒ 0.2 と書かれた(1)は消える。

高周波の傾き：−20 dB/dec（分母のjωが1個）⇒ 残った(2)が正解。

STEP6　検算する

折れ点 ω＝5 では |W| ＝ 10/√2 ＝ 7.07 ⇒ 17 dB（20 dB より 3 dB 下）。

図の実線が破線よりちょうど3 dB 下で交わっているのは、この性質の表れです。

答え：(a)-(2)，(b)-(2)

帰還の取り出し口で結果が変わる

本問の要点は「帰還がどこから出ているか」でした。同じ要素の並びでも、取り出し口が違えば結果が変わります。

帰還の取り出し口	閉ループ伝達関数	低域ゲイン
積分器の出口（K の手前・本問）	★K/(1＋jωT)	20log K＝20 dB
K の後（出力C）	1/(1＋jωT/K)	0 dB

K の手前から戻せば、K は閉ループの外側——だから分子に K がそのまま残ります。出力から戻せば K も閉ループの中に入り、分子が1 になるのです。

図を読むときは、分岐点の位置を必ず確認してください。線が重なって見づらいこともある——指でたどるくらいの慎重さでちょうどよいと言えます。

ボード線図の2つの数値

(a)が K/(1＋jωT) の形だと分かれば、(b)は2つの数値で決まります。

読む値	本問での計算	結果
低域ゲイン	20log1010	★20 dB
折れ点角周波数	1/T＝1/0.2	★5 rad/s

低域ゲインを0 dB としてしまう誤りと、折れ点を T そのもの（0.2）としてしまう誤り——この2つが定番の落とし穴です。

「K が分子に残っているか」「折れ点は時定数の逆数か」——この2点だけ確認すれば、(b)は迷わず選べます。(a)を正しく出せていれば、(b)は確実に取れる設問だと言えます。

まとめ

帰還の取り出し口	積分器の出口＝Kの手前 ⇒ K はループの外
ループの式	E＝R−X、X＝E/(jωT)
積分器の単位負帰還	X/R＝1/(1＋jωT)（＝一次遅れ）
(a)伝達関数	W＝K/(1＋jωT)＝10/(1＋j0.2ω) …… (2)
低域のゲイン	20log₁₀K＝20log₁₀10＝20 dB
折れ点角周波数	ω＝1/T＝1/0.2＝5 rad/s（T そのものではない）
高域の傾き	−20 dB/dec
折れ点での実値	折線近似より 3 dB 低い（10/√2＝7.07 ⇒ 17 dB）
答え	(a)-(2)，(b)-(2)

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