電験3種「機械」科目の令和2年度問15を題材に、誘導電動機の核心である「滑り」と「周波数」の関係を徹底解説します 。公式を丸暗記するのではなく、現象をイメージで捉えることで、初学者の方でもスッキリ理解できる内容に仕上げました 。
スライド1：誘導電動機の特性解析：滑りと周波数の真実
誘導電動機の挙動を理解するキーワードは**「滑り（Slip）」**です 。このスライドでは、公式の奥にある「なぜそう動くのか」という現象の理解を目指します 。
スライド2：解析対象：問題文とデータの抽出
まずは、与えられたミッションを確認しましょう 。
| 項目 | 60Hz時（定格） | 50Hz時（移行後） |
| 定格出力 ($P$) | 45 kW | ？ kW（求める値） |
| 定格周波数 ($f$) | 60 Hz | 50 Hz |
| 極数 ($p$) | 4極 | 4極 |
| 回転速度 ($N$) | 1746 min$^{-1}$ | 滑り $0.05$ で運転 |
| 負荷条件 | トルク一定 | 60Hz時と同じトルク |
この問題は、周波数が変わったときにモーターがどう「仕事」を変えるのかを問うています 。
スライド3：変数間の「物語」を理解する
誘導機は、固定子の磁界（親）を回転子（子）が必死に追いかける仕組みです 。
- $f_1$ (固定子周波数)：親が走るピッチ 。
- $s$ (滑り)：親に対する子の「遅れ」 。
- $f_2$ (滑り周波数)：この「遅れ」によって回転子に発生する電流の周波数 。
- $N, T$ (速度・トルク)：最終的な機械的な仕事 。
スライド4：設問(a) ステップ1：同期速度（磁界の速度）
モーターの理論上の最高速度である同期速度 ($N_s$) を求めます 。
$$N_s = \frac{120 \cdot f}{p}$$
$60\text{ Hz}$、4極の場合：
$$N_s = \frac{120 \times 60}{4} = 1800 \text{ min}^{-1}$$
スライド5：設問(a) ステップ2：滑り $s$ の導出
実際の回転速度 $N$ は $1746 \text{ min}^{-1}$ です 。磁界に対してどれだけ遅れているか（滑り）を計算します 。
$$s = \frac{N_s – N}{N_s}$$
$$s = \frac{1800 – 1746}{1800} = \frac{54}{1800} = 0.03$$
つまり、このモーターは滑り $3\%$ で回っています 。
スライド6：設問(a) 解答：滑り周波数 $f_2$
滑り周波数 $f_2$ は、回転子に誘導される電流の周波数です 。
$$f_2 = s \times f_1$$
$$f_2 = 0.03 \times 60 = 1.80 \text{ Hz}$$
正解(a)：1.80 Hz このごく低い周波数が、モーターのトルクを生み出す源泉となっています 。
スライド7：設問(b) シナリオ：50Hzへの移行
電源周波数が $60 \text{ Hz}$ から $50 \text{ Hz}$ に変わります 。
- トルク ($T$) は一定 を維持します 。
- 滑り ($s$) は $0.05$ に悪化 します 。
この条件下で、モーターがどれだけのパワー（出力 $P$）を出せるかを求めます 。
スライド8：重要な物理法則：出力は回転数に比例する
$$P(\text{出力}) = \omega(\text{角速度}) \times T(\text{トルク})$$
トルク $T$ が一定という条件なので、周波数が下がって回転速度が落ちれば、出力 $P$ も必ず低下します 。
スライド9：ステップ1：基準となるトルクの算出 (60Hz時)
まず、$60\text{ Hz}$ でのトルクを求めます 。これが $50\text{ Hz}$ でも維持されます 。
$$T = \frac{P \times 60}{2\pi N}$$
$$T = \frac{45000 \times 60}{2\pi \times 1746} \approx 246.1 \text{ N}\cdot\text{m}$$
スライド10：ステップ2：50Hz時の回転速度
$50\text{ Hz}$ での実際の回転速度を求めます 。
- 同期速度の低下：$$N_s(50) = \frac{120 \times 50}{4} = 1500 \text{ min}^{-1}$$
- 滑り ($s=0.05$) による低下：$$N_{50} = N_s(50) \times (1 – s)$$$$N_{50} = 1500 \times (1 – 0.05) = 1425 \text{ min}^{-1}$$
スライド11：設問(b)解答：50Hz時の出力 $P_{50}$
求めた速度とトルクを合体させます 。
$$P_{50} = \frac{2\pi N_{50}}{60} \times T_{rated}$$
$$P_{50} = \frac{2\pi \times 1425}{60} \times 246.1 \approx 36.7 \text{ kW}$$
正解(b)：約36.7 kW
スライド12：【別解】比率計算による検算
トルクが一定の場合、出力 $P$ は回転速度 $N$ に正比例します 。
$$P_{50} = P_{60} \times \left(\frac{N_{50}}{N_{60}}\right)$$
$$P_{50} = 45 \times \left(\frac{1425}{1746}\right) \approx 36.7 \text{ kW}$$
本番ではこの検算がミスを防ぐ強力な武器になります 。
スライド13：深層理解：なぜ滑りが増えたのか？
滑りが $0.03 \to 0.05$ に増えたことは、効率の悪化を意味します 。二次銅損（熱損失）は滑りに比例するためです 。 周波数が下がると冷却ファンの回転も遅くなるため、発熱の増加には特に注意が必要です 。
スライド14：重要公式まとめ
試験直前に見返したい、誘導機の「四種の神器」です。
- 同期速度：$N_s = \frac{120f}{p}$
- 滑り：$s = \frac{N_s – N}{N_s}$
- 滑り周波数：$f_2 = s \cdot f_1$
- 出力とトルク：$P = \frac{2\pi N}{60}T$
スライド15：実務への応用：移設時の注意点
西日本（60Hz）で使用していた装置を東日本（50Hz）に移設する場合、この問題のように出力は約20%も低下します（$45 \to 36.7 \text{ kW}$）。 「同じモーターだから同じ仕事ができる」という思い込みは禁物です 。
今回の解説はいかがでしたか？誘導機の計算でまだ「ここがモヤモヤする」という部分はありますか？例えば「二次銅損をもっと詳しく知りたい」など、次のステップを提案していただければ喜んで解説します！
コメント