こんにちは！電験合格を目指す皆さんを応援する「電験職人」です。
今回は、電験3種 機械科目の平成27年度 問15に挑戦します。この問題は、三相巻線形誘導電動機の「比例推移」に関する超重要問題です。比例推移は、誘導機の速度制御や始動特性を理解する上で欠かせない知識であり、試験でも頻出のテーマとなっています。
「比例推移って何だっけ？」「トルクと滑りの関係がよく分からない…」という方もご安心ください。この記事では、楽しいイラストスライドを使いながら、基本の原理から計算問題の解き方まで、誰にでも分かるように丁寧に解説していきます。
【電験3種 機械 H27 問15】今回のテーマ：誘導機の比例推移
【スライド内容】
- 電験3種 機械科目
- 平成27年度 B問題 問15
- 誘導機の比例推移 ～ 二次抵抗挿入による滑りとトルクの変化 ～
【詳細解説】
さあ、ここから解説スタートです！今回のテーマは、平成27年度の機械科目から、問15の「誘導機の比例推移」です。巻線形誘導電動機において、二次抵抗を変えると滑りやトルクがどう変化するのか、その関係性を解き明かしていく問題ですね。この1問をしっかり理解して、得点源にしていきましょう！
【問題文 1/2】まずは問題の前提条件を整理しよう
【スライド内容】
問 15 定格出力 15 kW，定格電圧 220 V，定格周波数 60 Hz，6 極の三相巻線形誘導電動機がある。二次巻線は星形（Y）結線でスリップリングを通して短絡されており，各相の抵抗値は 0.5 Ω である。この電動機を定格電圧，定格周波数の電源に接続して定格出力（このときの負荷トルクを Tn とする）で運転しているときの滑りは 5 %であった。
計算に当たっては，L 形簡易等価回路を採用し，機械損及び鉄損は無視できるものとして，次の(a)及び(b)の問に答えよ。
【詳細解説】
まずは問題文で与えられている条件を一つずつ確認していきます。計算問題を解く上での鉄則は、与えられた数値を正確に把握することです。特に、定格出力、電圧、周波数、極数、そして二次抵抗と定格滑りの値は、後の計算で全て使う重要なパラメータになります。L形簡易等価回路を使うこと、機械損や鉄損は無視することも、計算をシンプルにするための大切な指示ですね。
【問題文 2/2】設問(a)と(b)の内容を確認
【スライド内容】
(a) 速度を変えるために，この電動機の二次回路の各相に 0.2 Ω の抵抗を直列に挿入し，上記と同様に定格電圧，定格周波数の電源に接続して上記と同じ負荷トルク Tn で運転した。このときの滑りの値［%］として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) 3.0 (2) 3.6 (3) 5.0 (4) 7.0 (5) 10.0
(b) 電動機の二次回路の各相に上記(a)と同様に 0.2 Ω の抵抗を直列に挿入したままで，電源の周波数を変えずに電圧だけを 200 V に変更したところ，ある負荷トルクで安定に運転した。このときの滑りは上記(a)と同じであった。
この安定に運転したときの負荷トルクの値［N·m］として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) 99 (2) 104 (3) 106 (4) 109 (5) 114
【詳細解説】
この問題は(a)と(b)の2部構成になっています。(a)では、二次抵抗を変化させたときに、同じトルクを出すための滑りがどう変わるかを問われています。これがまさに「比例推移」の考え方を使う場面です。(b)では、さらに電源電圧を変化させます。電圧が変わるとトルクはどうなるのか、というもう一つの重要な関係性が問われます。このように、段階を踏んで誘導機の特性を深く理解できる良問と言えるでしょう。
【最重要公式】比例推移の原理とは？r₂/s = 一定の意味
【スライド内容】
比例推移とは？
誘導電動機において、二次抵抗と滑りの比 r₂/s が一定なら、トルクは変化しない。
【詳細解説】
今回の最重要ポイント、「比例推移の原理」です！誘導電動機では、「二次抵抗 r₂ と滑り s の比、つまり r₂/s が同じ値であれば、発生するトルクも同じになる」という非常に便利な性質があります。二次抵抗 r₂ を大きくすると（抵抗を挿入すると）、同じトルクを出すためには滑り s も同じ比率で大きくしなければならない、ということです。この関係をしっかり頭に叩き込みましょう！
【公式】比例推移の計算式はこれだけ覚えよう
【スライド内容】
$$\frac{r_2}{s_0} = \frac{r_2 + \Delta r}{s_1}$$- r₂：元の二次抵抗
- s₀：元の滑り
- Δr：挿入抵抗
- s₁：新しい滑り
【詳細解説】
先ほどの原理を数式で表したものがこちらです。抵抗を挿入する前の状態（r₂ と s₀）と、挿入した後の状態（r₂ + Δr と s₁）で、r/s の値が等しくなる、というシンプルな式ですね。この式さえ覚えておけば、設問(a)は簡単に解くことができます。
【設問(a)の解法】比例推移で滑りを計算！答えは7.0%
【スライド内容】
元の条件：r₂ = 0.5 Ω，s₀ = 0.05
挿入抵抗：Δr = 0.2 Ω → 合成 r₂’ = 0.7 Ω
✅ 正解：(4) 7.0 %
【詳細解説】
それでは、比例推移の公式を使って設問(a)を解いていきましょう。問題文より、負荷トルクは Tn のまま変化しないので、比例推移が適用できます。元の二次抵抗は0.5Ω、滑りは5%（0.05）でした。ここに0.2Ωの抵抗を直列に挿入したので、新しい二次抵抗は 0.5 + 0.2 = 0.7Ω となります。あとは公式に当てはめて、s₁ について解くだけです。計算すると、s₁ = 0.07、つまり7.0%となり、選択肢(4)が正解です。
【設問(b)の準備】同期角速度と定格トルクを計算しよう
【スライド内容】
ステップ1：同期角速度 ω₀ の導出
$$\omega_0 = \frac{4\pi f}{p} = \frac{4\pi \times 60}{6} = 40\pi \ [\mathrm{rad/s}]$$ステップ2：定格トルク Tn の導出（出力 P = 15 kW，定格滑り s = 0.05）
$$T_n = \frac{P}{\omega_0(1-s)} = \frac{15000}{40\pi \times (1 – 0.05)} \approx 125.65 \ [\mathrm{N \cdot m}]$$【詳細解説】
次に設問(b)に進みますが、その前に準備として「定格トルク Tn」の値を計算しておく必要があります。トルクを求めるには、まず同期角速度 ω₀ が必要です。公式 ω₀ = 4πf / p に周波数 f=60Hz、極数 p=6 を代入して、40π rad/s を得ます。次に、出力 P と回転角速度 ω = ω₀(1-s) の関係式 T = P/ω を使ってトルクを計算します。定格出力15kW、定格滑り0.05を代入すると、定格トルクは約125.65 N·mと求まります。この値が(b)の計算の基準になります。
【設問(b)の解法】電圧変化とトルクの関係（T ∝ V²）
【スライド内容】
重要原理：r₂/s が一定のとき、トルクは電圧の2乗に比例する
$$T \propto V^2$$計算：
$$T = T_n \times \left(\frac{V’}{V}\right)^2 = 125.65 \times \left(\frac{200}{220}\right)^2 \approx 103.84 \ [\mathrm{N \cdot m}]$$✅ 正解：(2) 104 N·m
【詳細解説】
いよいよ設問(b)の核心です。ここでのポイントは、「r₂/s が一定の条件下では、トルクは電源電圧の2乗に比例する」という、もう一つの超重要法則です。問題文で、滑りは(a)と同じ7.0%と与えられているので、この法則が使えます。元の電圧は220V、変更後の電圧は200Vです。先ほど計算した定格トルク Tn を基準に、電圧の2乗に比例させて計算すると、新しいトルクは約103.84 N·mとなります。最も近い選択肢は(2)の104ですね。
【グラフで理解】トルク－滑り特性曲線と比例推移の視覚的理解
【スライド内容】
二次抵抗を大きくすると、最大トルクの値は変わらずに、最大トルクとなる滑りが大きくなる（右へシフトする）。
【詳細解説】
比例推移をグラフで見てみると、理解がさらに深まります。これはトルクと滑りの関係を表す「トルク－滑り特性曲線」です。二次抵抗 r₂ を大きくすると、グラフの形はそのままに、右側（滑りが大きい方）へ平行移動（推移）します。重要なのは、最大トルクの値 Tmax は変わらないという点です。始動時（s=1）のトルクを大きくしたい場合などに、この性質が利用されます。
【解答まとめ】計算の流れを総復習
【スライド内容】
(a) 滑りの計算：比例推移の公式より，s₁ = 7.0 % → ✅ (4)
(b) トルクの計算：
① 定格トルク Tn を計算 → 125.65 N·m
② 電圧変化後のトルク T を計算 → 103.84 N·m → ✅ (2)
【詳細解説】
最後に、今回の問題の解法フローをまとめます。(a)は比例推移の公式一発で解決しました。(b)は、まず基準となる定格トルクを計算し、次に電圧変化の法則（トルクは電圧の2乗に比例）を使って最終的な答えを導きました。この2ステップの流れをしっかり覚えておきましょう。
【試験対策】電験3種 機械 誘導機の比例推移 重要ポイント3選
【スライド内容】
- 🔑 Point 1: 比例推移の原理を覚える！
トルクが一定なら、r₂/s も一定。 - 🔑 Point 2: トルクと電圧の関係を覚える！
r₂/s が一定なら、トルクは電圧の2乗に比例。 - 🔑 Point 3: 計算手順をマスターする！
定格トルク計算 → 電圧変化後のトルク計算の流れ。
【詳細解説】
今回の問題から学ぶべき試験対策ポイントは3つです。まずは「比例推移の原理（r₂/s = 一定）」。次に「トルクと電圧の関係（T ∝ V²）」。そして、この2つの知識を使った計算問題の解法手順。この3点を押さえておけば、類似問題が出題されても確実に対応できます。
お疲れ様でした！今回は電験3種 機械 平成27年度 問15を通して、誘導機の比例推移について学びました。このテーマは頻出ですので、ぜひ何度も復習して自分のものにしてください。
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