こんにちは！今回は、電験3種の機械科目から、多くの受験者がつまずきやすい三相誘導電動機の計算問題、平成20年度の問15を取り上げて、ステップバイステップで徹底解説していきます。
「出力とトルクの関係がわからない…」「滑りの計算が苦手…」という方も、この記事を読めば大丈夫！スライドと共に、楽しく学んでいきましょう。
まずは問題を確認！
📌 問題文（原文）
定格出力 7.5 [kW]、定格電圧 220 [V]、定格周波数 60 [Hz]、8極の三相巻線形誘導電動機がある。この電動機を定格電圧、定格周波数の三相電源に接続して定格出力で運転すると、82 [N·m] のトルクが発生する。この運転状態のとき、次の(a)及び(b)に答えよ。
(a) 回転速度 [min⁻¹] の値として、最も近いのは次のうちどれか。
(1) 575 (2) 683 (3) 724 (4) 874 (5) 924
(b) 回転子巻線に流れる電流の周波数 [Hz] の値として、最も近いのは次のうちどれか。
(1) 1.74 (2) 4.85 (3) 8.25 (4) 12.4 (5) 15.5
基礎知識①：誘導電動機の仕組み
三相誘導電動機は、電験3種の機械科目において最も重要なテーマの一つです。その動作原理を理解することが、計算問題を解く上での第一歩です。
- 固定子（ステータ）：三相交流電源に接続され、回転磁界を発生させます。
- 回転子（ロータ）：固定子が作った回転磁界に引きずられるようにして回転します。
- すべり（Slip）：回転子は同期速度よりも少しだけ遅れて回転します。この速度差を「すべり」と呼びます。
「すべり」が存在するからこそ、回転子巻線に誘導起電力が発生し、電流が流れ、トルクが生まれます。すべりがゼロになると誘導起電力がなくなりトルクも発生しません。これが誘導電動機の本質的な特性です。
基礎知識②：同期速度と滑りの公式
同期速度 \(N_0\)
同期速度とは、固定子が作る回転磁界の速度のことです。電源の周波数 \(f\) [Hz] と電動機の極数 \(p\) によって決まります。
公式1 — 同期速度
$$N_0 = \frac{120f}{p} \quad [\mathrm{min}^{-1}]$$
\(N_0\)：同期速度 [min⁻¹] ／ \(f\)：電源周波数 [Hz] ／ \(p\)：極数
今回の問題では \(f = 60\) [Hz]、\(p = 8\) 極なので、
$$N_0 = \frac{120 \times 60}{8} = \frac{7200}{8} = 900 \quad [\mathrm{min}^{-1}]$$
この 900 [min⁻¹] が、この電動機の理論上の最高回転速度（同期速度）です。実際の回転速度はこれより少し低くなります。
滑り \(s\)
公式2 — 滑り
$$s = \frac{N_0 – N}{N_0}$$
\(s\)：滑り（0〜1の値） ／ \(N_0\)：同期速度 [min⁻¹] ／ \(N\)：実際の回転速度 [min⁻¹]
定格運転時の滑りは通常 数%程度（0.02〜0.05）と非常に小さい値です。
基礎知識③：出力・トルク・角速度の関係
電動機の機械的な仕事に関する最重要公式です。この関係式は電験3種だけでなく、電験2種でも頻繁に登場します。
公式3 — 出力・トルク・角速度
$$P = T \times \omega \quad [\mathrm{W}]$$
\(P\)：出力 [W] ／ \(T\)：トルク [N·m] ／ \(\omega\)：角速度 [rad/s]
公式4 — 角速度と回転速度の変換
$$\omega = \frac{2\pi N}{60} \quad \Leftrightarrow \quad N = \frac{60\omega}{2\pi}$$
(a) の解法：回転速度を求めよう！
いよいよ計算に入ります。(a) では、定格出力 \(P = 7.5\) [kW] と定格トルク \(T = 82\) [N·m] が与えられているので、まず角速度を求め、次に回転速度に変換するという2ステップで解きます。
STEP 1：角速度 \(\omega\) を求める
\(P = T \times \omega\) を変形して \(\omega = P / T\) を計算します。
$$\omega = \frac{P}{T} = \frac{7500}{82} \approx 91.463 \quad [\mathrm{rad/s}]$$
STEP 2：回転速度 \(N\) に変換する
\(N = 60\omega / (2\pi)\) を使って角速度を回転速度に変換します。
$$N = \frac{60 \times 91.463}{2\pi} = \frac{5487.8}{6.2832} \approx 873.9 \quad [\mathrm{min}^{-1}]$$
✅ (a) の解答：873.9 [min⁻¹] → 最も近い選択肢は (4) 874
(b) の解法：回転子電流の周波数を求めよう！
(b) では、(a) で求めた回転速度を使って滑りを計算し、そこから回転子電流の周波数を求めます。
STEP 1：滑り \(s\) を求める
$$s = \frac{N_0 – N}{N_0} = \frac{900 – 873.9}{900} = \frac{26.1}{900} \approx 0.029$$
STEP 2：回転子電流の周波数 \(f_s\) を求める
$$f_s = s \times f = 0.029 \times 60 \approx 1.74 \quad [\mathrm{Hz}]$$
✅ (b) の解答：1.74 [Hz] → 最も近い選択肢は (1) 1.74
解法の全体像まとめ
解法フロー
① 与えられた値：\(P = 7500\) W、\(T = 82\) N·m、\(f = 60\) Hz、\(p = 8\)
② 角速度：\(\omega = P / T = 7500 / 82 \approx 91.46\) rad/s
③ 回転速度：\(N = 60\omega / (2\pi) \approx 874\) min⁻¹ → (a) の答え：(4)
④ 同期速度：\(N_0 = 120f / p = 900\) min⁻¹
⑤ 滑り：\(s = (N_0 – N) / N_0 \approx 0.029\)
⑥ 回転子電流の周波数：\(f_s = sf \approx 1.74\) Hz → (b) の答え：(1)
試験で使える！重要ポイントと試験対策
- ポイント① 出力・トルク・角速度：\(P = T \times \omega\)
- ポイント② 同期速度：\(N_0 = 120f / p\)
- ポイント③ 回転子電流の周波数：\(f_s = s \times f\)
⚠️ 試験での確認ポイント
回転速度は必ず同期速度より小さくなることを確認しましょう。今回は \(N \approx 874 < N_0 = 900\) となっており、正しいことが確認できます。もし計算結果が同期速度を超えていたら、計算ミスを疑いましょう。
最終解答
(a) 回転速度
答え：(4)
874 [min⁻¹]
(b) 回転子電流の周波数
答え：(1)
1.74 [Hz]
お疲れ様でした！今回の問題は、誘導電動機の基本公式を正しく使いこなせるかどうかが問われる良問でした。公式の丸暗記ではなく、「なぜその公式が成り立つのか」という物理的な意味を理解することで、応用問題にも対応できるようになります。
電験3種の機械科目では、誘導電動機に関する問題が毎年のように出題されます。今回学んだ公式と解法の流れをしっかりと身につけて、合格を目指しましょう！
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