電験3種の機械科目で頻出の「誘導電動機」。その中でも特に重要な概念が「比例推移」です。この原理を理解しているかどうかで、点数が大きく変わることも少なくありません。
今回は、平成22年度の問4を題材に、巻線形誘導電動機の二次抵抗を変化させたときの速度制御について、スライド形式で分かりやすく解説していきます。「滑りを制する者が合否を制する！」を合言葉に、この1問を完璧にマスターしましょう！
問題の確認
まずは、今回のテーマとなる問題文を確認しましょう。
【問題文】
極数4で50〔Hz〕用の巻線形三相誘導電動機があり、全負荷時の滑りは4〔%〕である。全負荷トルクのまま、この電動機の回転速度を1200〔min⁻¹〕にするために、二次回路に挿入する1相当たりの抵抗〔Ω〕の値として、最も近いのは次のうちどれか。ただし、巻線形三相誘導電動機の二次巻線は星形（Y）結線であり、各相の抵抗値は0.5〔Ω〕とする。
【選択肢】
(1) 2.0 (2) 2.5 (3) 3.0 (4) 7.0 (5) 7.5
この問題は、「全負荷トルクのまま」という条件がポイントです。つまり、モーターが発生するトルクを変えずに、回転速度だけを変化させたい、という状況です。これを実現するのが「比例推移」の考え方です。
解法の鍵：比例推移を理解する
この問題を解くためには、まず「同期速度」「滑り」そして「比例推移」という3つの基本概念を理解する必要があります。
1. 同期速度と滑り
同期速度 \(N_0\)
誘導電動機が理論上、無負荷で回転できる最高速度のことです。電源の周波数 \(f\) とモーターの極数 \(p\) で決まります。
$$N_0 = \frac{120f}{p} \quad [\text{min}^{-1}]$$
問題の値を代入すると、
$$N_0 = \frac{120 \times 50}{4} = 1500 \quad [\text{min}^{-1}]$$
滑り \(s\)
同期速度 \(N_0\) と、モーターが実際に回転している速度 \(N\) との差を表す指標です。
$$s = \frac{N_0 – N}{N_0}$$
- 元の状態（全負荷時）：滑り \(s_1\) は問題文から4%なので、\(s_1 = 0.04\) です。
- 目標の状態：回転速度を \(N=1200\text{ min}^{-1}\) にしたいので、このときの滑り \(s_2\) は、$$s_2 = \frac{1500 – 1200}{1500} = 0.2$$となり、\(s_2 = 0.2\)（20%）となります。
2. 比例推移の原理
ここが最重要ポイントです。巻線形誘導電動機では、二次回路に外部抵抗を接続できます。この二次回路の抵抗値を変えると、トルクと滑りの関係が変化します。
「トルクが同じであれば、二次回路の総抵抗と滑りは比例する」
これが比例推移の原理です。数式で表すと以下のようになります。
$$\frac{r_2}{s_1} = \frac{r_2 + R}{s_2} = \text{一定}$$
- \(r_2\)：二次巻線1相あたりの抵抗 [Ω]
- \(R\)：外部から挿入する抵抗 [Ω]
- \(s_1, s_2\)：それぞれの状態での滑り
3. 比例推移のグラフ（図解）
- 横軸が回転速度、縦軸がトルクです。
- 青い曲線が元の状態（外部抵抗なし）、黄色い曲線が外部抵抗を挿入した後の状態です。
- 重要なのは、最大トルクの高さは変わらないということです。二次抵抗を増やすと、トルクカーブ全体が左（低速側）へスライドします。
- この問題では「全負荷トルクのまま」なので、グラフ上の赤い破線（一定トルクのライン）に注目します。
- 抵抗を挿入することで、動作点がこのライン上を①から②へ移動し、回転速度が1440 min⁻¹ から 1200 min⁻¹ へと低下しているのが分かります。このとき、トルクは一定に保たれています。
具体的な計算手順
ステップ1：数値を整理する
| 項目 | 記号 | 値 |
|---|---|---|
| 極数 | \(p\) | 4 |
| 周波数 | \(f\) | 50 Hz |
| 元の滑り | \(s_1\) | 0.04（4%） |
| 目標回転速度 | \(N\) | 1200 min⁻¹ |
| 二次巻線抵抗 | \(r_2\) | 0.5 Ω |
| （計算値）同期速度 | \(N_0\) | 1500 min⁻¹ |
| （計算値）目標滑り | \(s_2\) | 0.2（20%） |
ステップ2：比例推移の式で計算する
先ほどの比例推移の公式に、整理した数値を代入して、挿入すべき抵抗 \(R\) を求めます。
$$\frac{r_2}{s_1} = \frac{r_2 + R}{s_2}$$
$$\frac{0.5}{0.04} = \frac{0.5 + R}{0.2}$$
まず左辺を計算します。
$$12.5 = \frac{0.5 + R}{0.2}$$
次に、分母の 0.2 を両辺に掛けて式を整理します。
$$12.5 \times 0.2 = 0.5 + R$$
$$2.5 = 0.5 + R$$
最後に \(R\) について解くと、
$$R = 2.5 – 0.5 = 2.0 \quad [\Omega]$$
となり、挿入すべき抵抗値は 2.0 Ω であることが分かります。
ステップ3：解答の確認
計算結果から、正解は選択肢 (1) 2.0 となります。
念のため、検算してみましょう。
- 元の状態：\(r_2 / s_1 = 0.5 / 0.04 = 12.5\)
- 抵抗挿入後：\((r_2 + R) / s_2 = (0.5 + 2.0) / 0.2 = 2.5 / 0.2 = 12.5\)
両者が等しくなったので、計算は正しいことが確認できました。
学習のポイントとまとめ
よくある間違い
- 同期速度の計算ミス：極数 \(p\) の値を間違える、公式を忘れるなど。
- 滑りの計算ミス：特に小数点の位置を間違えやすいです（例：0.2 と 0.02）。
- 比例推移の式の立て方：挿入する抵抗 \(R\) だけでなく、元々の二次抵抗 \(r_2\) も含めた合計抵抗で考えるのがポイントです。
重要公式の再確認
- 同期速度：\(N_0 = 120f / p\)
- 滑り：\(s = (N_0 – N) / N_0\)
- 比例推移：\(r_2 / s_1 = (r_2 + R) / s_2\)
巻線形誘導電動機の特徴
- かご形：二次導体が短絡されており、外部からアクセスできない。
- 巻線形：スリップリングを介して二次回路に外部抵抗を接続できる。
この構造の違いにより、巻線形は始動トルクを大きくしたり、今回のように速度を制御したりすることが得意です。クレーンなど、大きな力でゆっくり動かすような用途で活躍します。
まとめ
- トルク一定の条件で速度を変えるには、比例推移の原理を使う。
- 比例推移の公式 \(r_2/s_1 = (r_2+R)/s_2\) を正しく立てて計算する。
誘導電動機は毎年のように出題される超重要テーマです。今回の問題を完璧に理解し、他の問題にも応用できるよう、しっかり復習しておきましょう！
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