誘導機22【電験3種 機械】比例推移で求める二次挿入抵抗とは？平成22年 A問題4 完全解説

電験3種（第三種電気主任技術者試験）の機械科目において、「比例推移で挿入抵抗を求める」問題は巻線形誘導電動機の代表的な計算パターンです。本記事では、平成22年度 A問題4「回転速度を1 200 min⁻¹にするための二次挿入抵抗」を、はじめての方でも確実に解けるように丁寧に解説します。

使う式は比例推移 \( \dfrac{r_2}{s_1} = \dfrac{r_2 + R}{s_2} \) ただ一つ。目標の滑り \( s_2 \) さえ出せば、あとは分数方程式を解くだけです。

平成22年度 機械科目 A問題4：問題文と選択肢

まずは、実際の試験問題を確認してみましょう。

出典：一般財団法人 電気技術者試験センター「平成22年度 第三種電気主任技術者試験」機械科目 A問題4

電験3種 機械科目 【誘導機】 平成22年度 A問題4

極数 4 で 50 Hz 用の巻線形三相誘導電動機があり、全負荷時の滑りは 4 %である。全負荷トルクのまま、この電動機の回転速度を 1 200 min⁻¹ にするために、二次回路に挿入する 1 相当たりの抵抗 [Ω] の値として、最も近いのは次のうちどれか。

ただし、巻線形三相誘導電動機の二次巻線は星形（Y）結線であり、各相の抵抗値は 0.5 Ω とする。

(1) 2.0　　(2) 2.5　　(3) 3.0　　(4) 7.0　　(5) 7.5

出題のポイント：使う式は1本だけ

比例推移の計算問題は、式を1本立てれば終わります。難しいのは式ではなく、目標の滑りを正しく出すことです。

3ステップで解く

選択肢の正体

選択肢	そう出る計算	どこを間違えたか
(1) 2.0	2.5 − 0.5	正解
(2) 2.5	0.5 × 5	総抵抗をそのまま答えた（最頻の誤り）
(3) 3.0	0.5 × 6	滑り比を6倍と誤った
(4) 7.0	7.5 − 0.5	60 Hz として Ns＝1 800 で計算（s＝1/3）
(5) 7.5	0.5 × 15	同上で、しかも総抵抗のまま

(4)(5)は「60 Hz と思い込んだ場合」の答えです。N_s＝1 800 とすると s₂＝(1800−1200)/1800＝1/3 で15倍——問題文の「50 Hz 用」を読み飛ばすと、この2つに吸い込まれます。

(2)は「総抵抗と挿入抵抗の取り違え」で、この型の問題で最も多い誤りです。計算の最後に「引き算がもう1回要らないか」を確認する習慣をつけてください。

一般式にしておくと速い

この形で覚えておくと、(2)のような取り違えが構造的に起きなくなります。「滑りを k 倍にしたいなら、外部抵抗は r₂ の (k−1) 倍」——覚えるならこの一文です。

この運転で、どれだけの電力を捨てているのか

滑り0.20 で運転するということは、二次入力の20 % を熱にしているということです。具体的な数字で見てみましょう。

仮にこの電動機の二次入力が10 kW だったとします（トルク一定なら同期ワット＝二次入力も一定です）。

	抵抗なし（s＝0.04）	抵抗挿入後（s＝0.20）
二次入力 P2	10 kW	10 kW（トルク一定なので同じ）
二次銅損 sP2	0.4 kW	2.0 kW
うち回転子内部（0.5 Ω 分）	0.4 kW	0.4 kW
うち外部抵抗器（2.0 Ω 分）	—	1.6 kW
機械出力 (1−s)P2	9.6 kW	8.0 kW
回転速度	1 440 min−1	1 200 min−1

速度を17 % 落とすために、1.6 kW を抵抗器で捨てている——これが二次抵抗による速度制御の代償です。熱くなるのは外部抵抗器なので機械は焼けませんが、電気代はそのまま出ていきます。

抵抗の配分は抵抗値の比そのままです。0.5 Ω : 2.0 Ω＝1 : 4 ですから、2.0 kW のうち0.4 kW が回転子内部、1.6 kW が外部抵抗器——4/5 は機外で捨てられているので、電動機自体の温度上昇は抑えられます。

「熱を機外で出せる」ことが巻線形の長所でもあります。かご形で一次電圧制御をすると、同じ熱が回転子の中で出てしまい冷やせません——同じ「滑りを捨てる」制御でも、捨てる場所が違えば使える範囲が変わるのです。

抵抗を入れると、速度が負荷で動きやすくなる

本問は「全負荷トルクのまま」という条件で解きました。では、負荷が変わったらどうなるのか——ここに二次抵抗制御のもう一つの弱点があります。

トルクは r₂/s で決まるのですから、抵抗が大きいほど、同じトルク変化に対する滑りの変化も大きくなります。

負荷トルク	抵抗なし（r2＝0.5 Ω）	抵抗挿入後（合計2.5 Ω）
全負荷	s＝0.04（1 440 min−1）	s＝0.20（1 200 min−1）
半負荷	s＝0.02（1 470 min−1）	s＝0.10（1 350 min−1）
無負荷	s≒0（1 500 min−1）	s≒0（1 500 min−1）
全負荷→無負荷の速度変化	60 min−1（4 %）	300 min−1（20 %）

抵抗を入れた状態では、負荷が抜けると一気に1 500 min⁻¹ まで戻ってしまいます。速度変動率が4 % から20 % へ跳ね上がる——定速度電動機だったものが、変速度電動機になってしまうのです。

だから二次抵抗による速度制御は「負荷が安定している用途」に限られます。クレーンの巻下げのように負荷（荷の重さ）が決まっている場面では問題ありませんが、負荷が刻々変わる用途では速度が定まりません。

インバータならこの問題は起きません。同期速度そのものを下げているので、滑りは元のまま小さく、速度変動率も定格のままです。「滑りを大きくして減速する」方式と「同期速度を下げて減速する」方式の、もう一つの決定的な違いがここにあります。