こんにちは、電験職人のちょみです！
今回は、多くの受験者が苦手とする、三相誘導電動機の「近似計算」をテーマに、令和7年度上期、機械科目の問15を、スライド1枚1枚、丁寧に解説していきます。
この1問が合否を分ける、と言っても過言ではありません。この記事を最後まで読めば、皆さんの苦手意識が「得意」に変わっているはずです。ぜひ最後までご覧ください！
なお、この記事で使用しているスライドは動画でも公開しています。動画の概要欄のリンクからもご覧いただけます。
スライド1：表紙
スライド2：問題文 (a)
【問題文(a) 全文】
三相誘導電動機について、次の(a)及び(b)に答えよ。
(a) 一次側に換算した二次巻線の抵抗 $r_2’$ と滑り $s$ の比、$\dfrac{r_2′}{s}$ が、他の定数（一次巻線の抵抗 $r_1$、一次巻線のリアクタンス $x_1$、一次側に換算した二次巻線のリアクタンス $x_2’$）に比べて十分に大きくなるように設計された誘導電動機がある。この電動機を電圧 $V$ の電源に接続して運転したとき，この電動機のトルク $T$ と滑り $s$，電圧 $V$ の関係を表す近似式として，正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
ただし，$k$ は定数である。
(1) $T = \dfrac{k}{Vs}$ (2) $T = \dfrac{k}{V^2s}$ (3) $T = \dfrac{kV^2}{s}$
(4) $T = kV^2s$ (5) $T = kVs$
スライド3：問題文 (b)
【問題文(b) 全文】
(b) 上記(a)で示された条件で設計された定格電圧 220 V、同期速度 1 200 min⁻¹ の三相誘導電動機がある。この電動機を電圧 220 V の電源に接続して、一定トルクの負荷で運転すると、1 140 min⁻¹ の回転速度で回転する。この電動機に供給する電源電圧を 200 V に下げたときの電動機の回転速度 [min⁻¹] の値として、最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
ただし、電源電圧を下げたとき、負荷トルクと二次抵抗は変化しないものとする。
(1) 1 150 (2) 1 127 (3) 1 113 (4) 1 091 (5) 1 000
スライド4：【解説a】Part1 — 等価回路の簡略化
【スライド記載内容】
KEY CONCEPT：近似条件で等価回路はここまでシンプルになる！
L形等価回路（$r_1, x_1, x_2′, r_2’/s$）から、近似により $V$ と $r_2’/s$ だけの回路に簡略化。
【詳細解説】
問題(a)を解く鍵は、問題文にある「近似条件」です。
$\dfrac{r_2′}{s}$ が、他の定数（$r_1$, $x_1$, $x_2’$）に比べて十分に大きい
これは、三相誘導電動機のL形等価回路において、抵抗 $\dfrac{r_2′}{s}$ の値が、一次側の抵抗 $r_1$ やリアクタンス $x_1$, $x_2’$ に比べて、圧倒的に大きいということです。
通常のL形等価回路では、インピーダンス $Z$ は次のように表されます（励磁回路を無視したL形等価回路）。
$$Z = \left(r_1 + jx_1\right) + \dfrac{r_2′}{s} + jx_2’$$
しかし、近似条件により $r_1, x_1, x_2’$ は $\dfrac{r_2′}{s}$ に比べて無視できるほど小さいと考えます。その結果、回路全体を流れる電流 $I_1’$ は次のように近似できます。
$$I_1′ \approx \dfrac{V}{\dfrac{r_2′}{s}} = \dfrac{Vs}{r_2′}$$
つまり、複雑なL形等価回路が、電源電圧 $V$ と抵抗 $\dfrac{r_2′}{s}$ だけのシンプルな直列回路に置き換えられるのです。
スライド5：【解説a】Part2 — トルクの近似式を導く
【スライド記載内容】
DERIVATION：シンプルな回路からトルクの近似式を導く
Step 1: $I_2′ \approx \dfrac{Vs}{r_2′}$
Step 2: $P_2 = 3(I_2′)^2 \dfrac{r_2′}{s}$
Step 3: $T = \dfrac{P_2}{\omega_s}$
Step 4: $T = kV^2s$（正解の近似式）
【詳細解説】
簡略化された回路から、トルク $T$ を段階的に導出します。
Step 1：二次電流 $I_2’$ の近似
近似後の回路はオームの法則から、
$$I_2′ \approx \dfrac{V}{\dfrac{r_2′}{s}} = \dfrac{Vs}{r_2′}$$
Step 2：二次入力 $P_2$ の計算
二次入力 $P_2$ は、二次回路で消費される電力で、公式は $P_2 = 3(I_2′)^2 \dfrac{r_2′}{s}$ です（三相なので3倍）。$I_2’$ の近似式を代入すると、
$$P_2 = 3 \left( \dfrac{Vs}{r_2′} \right)^2 \dfrac{r_2′}{s} = 3 \cdot \dfrac{V^2 s^2}{(r_2′)^2} \cdot \dfrac{r_2′}{s} = \dfrac{3V^2s}{r_2′}$$
Step 3：トルク $T$ の計算
トルクの公式は $T = \dfrac{P_2}{\omega_s}$（$\omega_s$：同期角速度）です。$P_2$ の式を代入すると、
$$T = \dfrac{1}{\omega_s} \cdot \dfrac{3V^2s}{r_2′} = \dfrac{3}{r_2′ \omega_s} \cdot V^2 s$$
Step 4：近似式の完成
括弧内の $\dfrac{3}{r_2′ \omega_s}$ はすべて定数です。これをまとめて比例定数 $k$ と置くと、
$$T = kV^2s$$
という関係式が導けます。これは、トルクが電圧の2乗と滑りに比例することを示しています。
スライド6：【解答a】正解発表
【スライド記載内容】
✅ 正解：(4) $T = kV^2s$
トルクは電圧の2乗と滑りに比例する！
【各選択肢の解説】
| 選択肢 | 式 | 判定 | 理由 |
|---|---|---|---|
| (1) | $T = \dfrac{k}{Vs}$ | ❌ | $V$ が分母にある。電圧が高いほどトルクが下がるのは誤り。 |
| (2) | $T = \dfrac{k}{V^2s}$ | ❌ | $V^2$ が分母にある。同様に誤り。 |
| (3) | $T = \dfrac{kV^2}{s}$ | ❌ | $s$ が分母にある。滑りが大きいほどトルクが下がるのは誤り。 |
| (4) | $T = kV^2s$ | ✅ | 正解。導出した近似式と一致。 |
| (5) | $T = kVs$ | ❌ | $V$ の指数が1。正しくは2乗。 |
スライド7：【解説b】Step1 — 初期状態の滑りを計算する
【スライド記載内容】
CALCULATION (b) – STEP 1：まずは初期状態の「滑り」を計算する
条件：$V_1 = 220$ V, $N_s = 1200$ min⁻¹, $N_1 = 1140$ min⁻¹
$$s_1 = \dfrac{N_s – N_1}{N_s} = \dfrac{1200 – 1140}{1200} = \dfrac{60}{1200} = 0.05$$
【詳細解説】
問題(b)を解くために、まず電圧を変化させる前の初期状態における「滑り $s_1$」を計算します。
滑りの定義式は次の通りです。
$$s = \dfrac{N_s – N}{N_s}$$
ここで、$N_s$ は同期速度（1200 min⁻¹）、$N$ は実際の回転速度（1140 min⁻¹）です。数値を代入すると、
$$s_1 = \dfrac{1200 – 1140}{1200} = \dfrac{60}{1200} = 0.05$$
初期状態の滑りは 0.05（5%） であることがわかりました。
スライド8：【解説b】Step2 — 比例推移の応用
【スライド記載内容】
CALCULATION (b) – STEP 2：トルク一定条件から、電圧変化後の滑りを求める
⭐ キーポイント（比例推移）
$T = kV^2s$ で $T$ と $k$ が一定 → $V^2s$ も一定！
$$V_1^2 s_1 = V_2^2 s_2$$
【詳細解説】
ここがこの問題の最重要ポイントです！問題文に「トルクは一定」という条件があります。
(a)で導いた近似式 $T = kV^2s$ を思い出してください。トルク $T$ が一定で、比例定数 $k$ も一定なので、残りの $V^2s$ の値も、電圧を変える前と後で一定に保たれます。この関係を「比例推移」と呼びます。
$$V_1^2 s_1 = V_2^2 s_2$$
この式を $s_2$ について解くと、
$$s_2 = \dfrac{V_1^2}{V_2^2} s_1 = \dfrac{220^2}{200^2} \times 0.05 = \dfrac{48400}{40000} \times 0.05 = 1.21 \times 0.05 = 0.0605$$
電圧を下げた後の滑りは 0.0605 であることがわかりました。電圧が下がると、同じトルクを出すために滑りが大きくなる（＝回転速度が落ちる）という関係が見て取れますね。
スライド9：【解答b】最終的な回転速度
【スライド記載内容】
ANSWER (b)：新しい滑りから、最終的な回転速度を計算する
$$N_2 = N_s (1 – s_2) = 1200 \times (1 – 0.0605) = 1200 \times 0.9395 \approx 1127 \text{ [min}^{-1}\text{]}$$
✅ 正解：(2) 1127
【詳細解説】
新しい滑り $s_2 = 0.0605$ がわかったので、あとは回転速度 $N_2$ を計算するだけです。
滑りの定義式 $s = \dfrac{N_s – N}{N_s}$ を変形すると、$N = N_s(1 – s)$ となります。
$$N_2 = N_s(1 – s_2) = 1200 \times (1 – 0.0605) = 1200 \times 0.9395 = 1127.4 \approx 1127 \text{ [min}^{-1}\text{]}$$
計算結果は 1127.4 となり、選択肢の中で最も近いのは (2) 1127 です。
【検算】
念のため、トルクが一定であることを確認します。
$$V_1^2 s_1 = 220^2 \times 0.05 = 48400 \times 0.05 = 2420$$
$$V_2^2 s_2 = 200^2 \times 0.0605 = 40000 \times 0.0605 = 2420$$
$V_1^2 s_1 = V_2^2 s_2 = 2420$ となり、トルクが一定であることが確認できました。
スライド10：まとめ
【スライド記載内容】
SUMMARY：この問題の重要ポイント3選
1. 近似条件を見抜け！ → 等価回路をシンプルに！
2. $T=kV^2s$ を導け！ → 暗記ではなく導出プロセスを理解！
3. 比例推移を使いこなせ！ → トルク一定なら $V^2s$ も一定！
【まとめ解説】
今回の問題の重要ポイントを3つにまとめます。
- 近似条件を見抜くこと。 問題文中の「$\dfrac{r_2′}{s}$ が他の定数に比べて十分に大きい」という一文を見つけ、等価回路を大幅に簡略化できることに気づくことが、この問題を解く第一歩です。
- トルクの近似式 $T=kV^2s$ を自力で導出できること。 丸暗記ではなく、等価回路の簡略化 → 電流の近似 → 二次入力の計算 → トルクの計算、という一連の流れを理解しておくことが重要です。
- 比例推移の考え方をマスターすること。 「トルク一定」という条件が出てきたら、「$V^2s$ も一定」と即座に連想できるようにしておきましょう。これは他の問題でも頻出の超重要テクニックです。
この3点をしっかり押さえれば、誘導機の近似計算はもう怖くありません。
解答まとめ
| 問題 | 正解 | 解答 |
|---|---|---|
| (a) | ✅ (4) | $T = kV^2s$（トルクは電圧の2乗と滑りに比例） |
| (b) | ✅ (2) | $N_2 = 1127$ min⁻¹（比例推移を使って計算） |
以上、電験3種 機械科目 令和7年度上期 問15 の徹底解説でした。この記事が皆さんの合格の助けになれば幸いです！
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