#15【電験3種】平成21年｜機械 問15｜誘導機の効率計算を攻略！1:S:(1-S) エネルギー比例の黄金法則

電験3種・機械科目、平成21年度 問15 の解説ブログを作成しました。

この問題は、誘導機の**「トルク計算」と「効率計算」、そして「比例推移」**という3つの重要テーマが組み合わさった良問です。公式の丸暗記では太刀打ちできない「エネルギーの流れ（パワーフロー）」を、スライドに沿ってわかりやすく解説します。

スライド1：平成21年度 問15「誘導機のトルクと効率」の完全攻略

今回のテーマは、三相誘導電動機の「エネルギーフロー（パワーフロー）」です。

公式をただ覚えているだけでは解けない、応用力が試される問題です。しかし、エネルギーがどこから入って、どこで消費され、どう出力されるかという「流れ」さえ見えれば、恐れることはありません。

スライド2：問題文の確認と条件整理

まずは問題文から重要なデータを抜き出しましょう。

問題の概要

• 定格出力：$15 \text{ kW}$
• 定格周波数：$60 \text{ Hz}$
• 極数：$6$極
• 定格運転時の滑り：$5\%$
• (a) このときの発生トルクは？
• (b) トルクが $1/2$ になったときの効率は？（ただし、一次銅損は $250 \text{ W}$、トルクと滑りは比例するものとする）

スライド3：【設問a】トルクを求めるための戦略

トルク $T$ を求める公式はいくつかありますが、最も基本となるのは「出力 $P$」と「角速度 $\omega$」の関係式です。

$$T = \frac{P}{\omega}$$

この公式を使うために、以下の手順で計算を進めます。

1. 周波数と極数から同期速度を出す。
2. 滑りを考慮して実際の回転速度を出す。
3. 回転速度を角速度 ($\text{rad/s}$) に変換する。
4. 公式に代入してトルクを求める。

スライド4：ステップ1：回転速度 $N$ を求める

まずは、モーターが1分間に何回転しているか（$N$）を求めます。

1. 同期速度 $N_s$（理想の回転数）$$N_s = \frac{120f}{p} = \frac{120 \times 60}{6} = 1200 \text{ min}^{-1}$$
2. 定格回転速度 $N$（実際の回転数）滑り $s = 0.05$ なので、少し遅くなります。$$N = N_s (1 – s) = 1200 \times (1 – 0.05) = 1140 \text{ min}^{-1}$$

スライド5：ステップ2：角速度 $\omega$ への変換

トルクの計算（$T=P/\omega$）で使う速度は、$\text{min}^{-1}$（rpm）ではなく、$\text{rad/s}$（ラジアン毎秒）である必要があります。

$$\omega = \frac{2\pi N}{60}$$

$$\omega = \frac{2\pi \times 1140}{60} \approx 119.38 \text{ rad/s}$$

※ 円周率 $\pi$ は $3.14$ として計算しても良いですが、電卓の $\pi$ キーを使うと誤差が少なくなります。

スライド6：ステップ3：定格トルクの計算（aの解答）

準備が整いました。定格出力 $15 \text{ kW} = 15,000 \text{ W}$ を角速度で割ります。

$$T = \frac{15,000}{119.38} \approx 125.65 \text{ N}\cdot\text{m}$$

選択肢の中で最も近いのは (3) 126 です。これで(a)はクリアです！

スライド7：【設問b】状況変化！トルクが半減すると滑りはどうなる？

ここから設問(b)です。条件が変わります。

「発生トルクが $1/2$ になった」

誘導機の運転範囲（直線部分）では、「トルクは滑りに比例する ($T \propto s$)」 という性質（比例推移）があります。

• トルクが $1/2$ 倍になる $\rightarrow$ 滑り $s$ も $1/2$ 倍になる

$$s’ = 0.05 \times \frac{1}{2} = 0.025$$

新しい滑り $s’ = 2.5\%$ を使って、これからの計算を行います。

スライド8：誘導機のパワーフロー（エネルギーの流れ）を制する

効率を求めるには、「入力」と「出力」が必要です。エネルギーの流れ図（パワーフロー）をイメージしましょう。

1. 一次入力 $P_1$: コンセントからの全電力。
2. 一次銅損 $P_{c1}$: ここで $250 \text{ W}$ 引かれます。
3. 二次入力 $P_2$: 回転子へ渡るパワー。
4. 二次銅損 $P_{c2}$: 滑り $s$ の分だけ熱として捨てられます。
5. 機械的出力 $P_o$: 残ったエネルギーが仕事になります。

黄金比: $P_2 : P_{c2} : P_o = 1 : s : (1-s)$

スライド9：ステップ1：新しい二次入力 $P_2’$ の導出

まずは、流れの真ん中にある「二次入力（同期ワット）」から攻めます。

二次入力 $P_2$ は、「同期速度で回っていると仮定したときの仕事率 ($P_2 = \omega_s \times T$)」です。

• 同期角速度 $\omega_s = \frac{2\pi \times 1200}{60} \approx 125.66 \text{ rad/s}$
• 新しいトルク $T’ = 62.8 \text{ N}\cdot\text{m}$ （(a)の半分）

$$P_2′ = 125.66 \times 62.8 \approx 7891.4 \text{ W}$$

スライド10：ステップ2：新しい出力 $P_o’$ の算出

二次入力 $P_2’$ のうち、滑り $s’$ の分を捨てた残りが「出力」です。

• 新しい滑り $s’ = 0.025$ (2.5%)
• 仕事になる割合 = $1 – 0.025 = 0.975$ (97.5%)

$$P_o’ = 7891.4 \times 0.975 \approx 7694.1 \text{ W}$$

これが、分子に来る「出力」の値です。

スライド11：ステップ3：一次入力 $P_1’$ の算出

次は、分母に来る「入力」の値です。

全入力 $P_1$ は、「二次入力」に、その手前で失われた「一次銅損」を足し戻せば求まります。

$$P_1′ = P_2′ + P_{c1}$$

$$P_1′ = 7891.4 + 250 = 8141.4 \text{ W}$$

※ $P_{c1} = 250 \text{ W}$ は問題文で与えられた固定値です。

スライド12：最終ステップ：効率の計算（bの解答）

いよいよラストです。効率 $\eta$ を計算します。

$$\eta = \frac{\text{出力}}{\text{入力}} \times 100$$

$$\eta = \frac{7694.1}{8141.4} \times 100 \approx 94.506 \dots \%$$

選択肢の中で最も近いのは (3) 94.5 です。

スライド13：ここで間違える！注意すべきポイント

この問題には2つの罠があります。

1. 滑りの変化:トルクが半分になったので、滑りも $0.05$ から $0.025$ に変えて計算する必要があります。定格時の $0.05$ をそのまま使ってはいけません。
2. 一次銅損の扱い:通常、銅損は電流の2乗に比例して変化しますが、この問題では「$250 \text{ W}$ であった」と値が指定されています。勝手に計算せず、問題文の指示に従う素直さが求められます。

スライド14：本問の重要公式まとめ

• 同期速度: $N_s = 120f/p$
• トルク: $T = P / \omega$
• 比例推移: $T \propto s$
• パワーフロー比: $P_2 : P_{c2} : P_o = 1 : s : (1-s)$
• 同期ワット: $P_2 = \omega_s T$

これらをセットで覚えておきましょう。

スライド15：合格へのアドバイス

誘導機の計算問題は、数式を暗記するだけでは限界があります。

今回のように、**「エネルギーがどこから入り、どこで熱になり、どこで出力になるか」**というパワーフロー図を頭の中に描けるようになれば、どんな応用問題が出ても怖くありません。

この「イメージする力」こそが、合格への最短ルートです！