#63【電験3種 機械】平成18年問8を徹底解説！VVVFインバータとV/f一定制御の仕組み

「誘導電動機のインバータ制御の問題が出ると、電圧やトルクがどう変化するのか分からなくなってしまう…」
「V/f一定制御という言葉は知っているけれど、実際の計算問題になると解けない…」

電験3種の機械科目において、誘導電動機の速度制御は頻出テーマの一つです。特にVVVFインバータを用いた制御は、実務でも非常に重要であるため、試験でもよく問われます。

この記事では、電験3種、機械科目、平成１８年度、問題８の過去問を用いて、VVVFインバータによる「V/f一定制御」の仕組みと、周波数が変化した際の電圧・トルクの計算方法を徹底的に解説します。

この記事を読むことで、以下のことが理解できるようになります。

• VVVFインバータにおける一般的な制御方式（V/f一定制御）の原理
• 周波数が変化した際の印加電圧の計算方法
• 周波数一定時における、電圧と最大トルクの関係性

電験3種 機械科目 平成18年度 問8 の問題文

まずは、実際の問題文を確認しましょう。

誘導電動機を VVVF（可変電圧可変周波数）インバータで駆動するものとする。このときの一般的な制御方式として （ア） が用いられる。いま，このインバータが 60 [Hz] 電動機用として，60 [Hz] のときに 100 [%] 電圧で運転するように調整されていたものとする。このインバータを用いて，50 [Hz] 用電動機を 50 [Hz] にて運転すると電圧は約 （イ） [%] となる。トルクは電圧のほぼ （ウ） に比例するので，この場合の最大発生トルクは，定格電圧印加時の最大発生トルクの約 （エ） [%] となる。
ただし，両電動機の定格電圧は同一である。

上記の記述中の空白箇所（ア），（イ），（ウ）及び（エ）に当てはまる語句又は数値として，正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

問題の条件と求めるものの整理

問題を解く前に、与えられた条件と求めるべき値を整理します。

与えられた条件

• インバータ：VVVF（可変電圧可変周波数）インバータ
• 設定：60 [Hz] 用として、60 [Hz] のときに 100 [%] 電圧で運転
• 使用条件：50 [Hz] 用電動機を 50 [Hz] で運転
• 前提：両電動機の定格電圧は同一

求めるもの

• （ア）：VVVFインバータの一般的な制御方式の名称
• （イ）：50 [Hz] 運転時の出力電圧 [%]
• （ウ）：トルクが電圧の何乗に比例するか
• （エ）：最大発生トルクの比率 [%]

（ア）の解説：VVVFインバータの一般的な制御方式とは？

誘導電動機をインバータで速度制御する際、最も一般的に用いられるのがV/f一定制御です。

V/f一定制御（定磁束制御）の原理

誘導電動機の磁束 \( \phi \) は、印加電圧 \( V \) と周波数 \( f \) に対して以下の関係があります。

$$ \phi \propto \frac{V}{f} $$

電動機が安定して最大のパフォーマンスを発揮するためには、この磁束 \( \phi \) を一定に保つ（定磁束制御）必要があります。もし周波数 \( f \) だけを下げて電圧 \( V \) をそのままにすると、磁束が過大になり鉄心が磁気飽和を起こして過電流が流れてしまいます。

そのため、VVVFインバータは「電圧 \( V \) と周波数 \( f \) を同時に、かつ同じ比率で変化させる」ことで、\( V/f \) の値を一定に保ちます。

したがって、（ア）の答えは V/f 一定制御 となります。

（イ）の解説：50Hz運転時の電圧を計算しよう

V/f一定の公式を用いた計算手順

次に、50 [Hz] で運転したときの電圧を計算します。先ほど確認した「V/f = 一定」の関係式を用います。

60 [Hz] のときの電圧を \( V_{60} \)、周波数を \( f_{60} \) とし、50 [Hz] のときの電圧を \( V_{50} \)、周波数を \( f_{50} \) とすると、以下の等式が成り立ちます。

$$ \frac{V_{60}}{f_{60}} = \frac{V_{50}}{f_{50}} $$

問題の条件より、\( V_{60} = 100 \) [%]、\( f_{60} = 60 \) [Hz]、\( f_{50} = 50 \) [Hz] なので、これらを代入して \( V_{50} \) を求めます。

$$ \frac{100}{60} = \frac{V_{50}}{50} $$

$$ V_{50} = \frac{50}{60} \times 100 $$

$$ V_{50} = 83.33\ldots [\%] \approx 83 [\%] $$

したがって、（イ）の答えは 83 となります。

（ウ）の解説：トルクと電圧の関係性

周波数一定時の最大トルクの特性

誘導電動機の最大トルク \( T_m \) は、一般的に以下の式で表される関係があります。

$$ T_m \propto \frac{V^2}{f^2} $$

今回の問題では、「50 [Hz] 用電動機を 50 [Hz] にて運転」しています。つまり、周波数 \( f \) は一定（変化しない）という前提条件があります。

周波数 \( f \) が一定である場合、分母の \( f^2 \) は定数として扱えるため、最大トルク \( T_m \) は分子の \( V^2 \) にのみ依存することになります。

したがって、周波数一定のとき、最大トルクは電圧の 2 乗 に比例します。（ウ）の答えは 2 乗 となります。

（エ）の解説：最大発生トルクの比率を計算しよう

電圧の2乗に比例するトルクの計算

最後に、この場合の最大発生トルクが、定格電圧印加時の最大発生トルクの約何 [%] になるかを計算します。（ウ）で確認した通り、周波数一定時においてトルク \( T \) は電圧 \( V \) の2乗に比例します（\( T \propto V^2 \)）。

定格電圧を \( V_{rated} = 100 \) [%]、実際の印加電圧を \( V_{actual} = 83.3 \) [%] とします。それぞれのトルクの比率は、電圧の2乗の比率と等しくなります。

$$ \frac{T_{actual}}{T_{rated}} = \frac{V_{actual}^2}{V_{rated}^2} = \frac{83.3^2}{100^2} = 0.833^2 \times 100 \approx 69.4 [\%] $$

したがって、（エ）の答えは 69 となります。

解答まとめ

これまでの計算結果をまとめます。

• （ア）V/f 一定制御
• （イ）83 [%]
• （ウ）2 乗
• （エ）69 [%]

これら全てを満たす選択肢は (1) となります。

よくあるミスと試験対策の重要ポイント

1. V/f 一定制御の原理：誘導電動機の磁束 \( \phi \) は \( V/f \) に比例します。磁束を一定に保ち、安定したトルク特性を得るために、インバータは電圧と周波数を同時に制御します。
2. 電圧の計算は単純な比例計算：「V/f = 一定」なので、周波数が 60Hz から 50Hz になれば（5/6倍）、電圧も 100% から 83.3%（5/6倍）になります。
3. トルクは電圧の「2乗」に比例する（周波数一定時）：ここが最も間違えやすいポイントです。「トルクは電圧に比例する」と勘違いして、トルクも 83% になると答えてしまわないように注意しましょう。電圧が 0.833 倍になれば、トルクはその2乗である約 0.69 倍（69%）に大きく低下します。

FAQ（よくある質問）

なぜ周波数だけを下げてはいけないのですか？

誘導電動機の磁束は \( V/f \) に比例します。電圧 \( V \) を下げずに周波数 \( f \) だけを下げると、磁束が過大になり、鉄心が磁気飽和を起こしてしまいます。その結果、過大な励磁電流が流れ、モーターが焼損する恐れがあるためです。

「V/f一定制御」と「ベクトル制御」の違いは何ですか？

V/f一定制御は、電圧と周波数の比率を一定に保つシンプルな制御方式で、ファンやポンプなど一般的な用途に広く使われます。一方、ベクトル制御はモーターの電流を「トルク成分」と「磁束成分」に分けて独立して制御する高度な方式で、エレベーターやクレーンなど、低速から高いトルクが必要な用途で使われます。電験3種ではまず基本となるV/f一定制御をしっかり理解することが重要です。

トルクの計算で、なぜ60Hzの時のトルクと比較しないのですか？

問題文で「この場合の最大発生トルクは、定格電圧印加時の最大発生トルクの約何%となるか」と問われているためです。ここでいう「定格電圧印加時」とは、現在使用している「50Hz用電動機」に定格電圧（100%）を印加した状態を指します。そのため、同じ50Hzという条件（周波数一定）の下で、電圧が100%の時と83.3%の時を比較して計算します。