こんにちは！電験合格を目指す皆さんを応援しています。
今回は、電験3種 機械科目の過去問の中から、多くの受験生がつまずきやすい平成29年度 問15をピックアップしました。この問題は、三相誘導電動機の基本的な計算力と、少し応用的な「比例推移」の理解度を同時に問う、非常に良質な問題です。
(a)の一次電流計算、(b)の比例推移、どちらもマスターすれば大きな得点源になります。一枚ずつスライドで丁寧に解説していきますので、ぜひ最後までついてきてください！
スライド1：タイトル
この問題は、機械科目の中でも最重要テーマの一つである「三相誘導電動機」に関する問題です。特に(b)で問われる「比例推移」は、巻線形誘導電動機の速度制御を理解する上で欠かせない知識です。
スライド2：問題文
【問題文（原文）】
定格出力 15 kW，定格電圧 400 V，定格周波数 60 Hz，極数 4 の三相誘導電動機がある。この誘導電動機が定格電圧，定格周波数で運転されているとき，次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a) 軸出力が 15 kW，効率と力率がそれぞれ 90 % で運転されているときの一次電流の値 [A] として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
(1) 22 (2) 24 (3) 27 (4) 33 (5) 46
(b) この誘導電動機が巻線形であり，全負荷時の回転速度が 1 746 min−1 であるものとする。二次回路の各相に抵抗を追加して挿入したところ，全負荷時の回転速度が 1 455 min−1 となった。ただし，負荷トルクは回転速度によらず一定とする。挿入した抵抗の値は元の二次回路の抵抗の値の何倍であるか。最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
(1) 1.2 (2) 2.2 (3) 5.4 (4) 6.4 (5) 7.4
問題を解き始める前に、まずは与えられた情報を正確に整理することが大切です。特に、定格出力が[kW]であること、電圧が三相400Vであること、効率と力率がパーセントではなく小数（0.9）で計算に使うことなどをしっかり確認しておきましょう。
スライド3：(a)問 解法の基礎知識
三相交流電力の公式
\[P_{in} = \sqrt{3} \times V \times I_1 \times \cos\theta\]
効率（η）と出力の関係
\[P_{in} = \frac{P_{out}}{\eta}\]
一次電流を求める式（重要！）
\[I_1 = \frac{P_{out}}{\sqrt{3} \times V \times \eta \times \cos\theta}\]
(a)を解く鍵は、三相電力の基本公式です。電動機の入力電力を出力電力と効率の関係式と組み合わせることで、一次電流 \(I_1\) を求める式を導き出せます。この変形は頻出なので、必ず自力で導けるようにしておきましょう。
スライド4：(a)問 計算過程
数値を代入して計算
\[I_1 = \frac{15 \times 10^3}{\sqrt{3} \times 400 \times 0.9 \times 0.9}\]
| ステップ | 計算 | 結果 |
|---|---|---|
| 分母の計算（電圧 × √3） | √3 × 400 | ≈ 692.8 |
| 効率 × 力率 | 0.9 × 0.9 | = 0.81 |
| 分母合計 | 692.8 × 0.81 | ≈ 561.2 |
| I₁ | 15000 ÷ 561.2 | ≈ 26.7 A |
∴ 一次電流 I₁ ≈ 27 A → 選択肢(3) 正解
スライド5：(b)問 同期速度と滑りの基礎
同期速度 N₀ の計算
\[N_0 = \frac{120 \times f}{p} = \frac{120 \times 60}{4} = 1800 \text{ min}^{-1}\]
滑り（slip）s の定義
\[s = 1 – \frac{N}{N_0}\]
| 状態 | 回転速度 | 滑り s |
|---|---|---|
| 抵抗挿入前（全負荷） | 1746 min⁻¹ | s_n = 1 − 1746/1800 = 0.03 |
| 抵抗挿入後 | 1455 min⁻¹ | s = 1 − 1455/1800 ≈ 0.1917 |
(b)を解くための第一歩は「滑り」を求めることです。まず基準となる「同期速度」を計算します。公式 \(N_0 = 120f/p\) は絶対に覚えておきましょう。この2つの滑りの値が、次の「比例推移」の計算で重要になります。
スライド6：比例推移の原理
比例推移とは？
巻線形誘導電動機の二次回路に外部抵抗を挿入すると、トルク-速度特性曲線が比例的にシフトする現象です。
比例推移の条件：負荷トルクが一定であること
比例推移の基本公式
\[\frac{r_2}{s_n} = \frac{r_2 + R}{s}\]
- \(r_2\)：二次抵抗（1相分）[Ω]
- \(R\)：挿入する外部抵抗（1相分）[Ω]
- \(s_n\)：挿入前の滑り
- \(s\)：挿入後の滑り
いよいよ本問題の核心、「比例推移」です。これは「負荷トルクが一定のとき、二次抵抗と滑りの比は一定に保たれる」という法則です。この公式は非常に重要なので、必ず暗記してください。
スライド7：(b)問 比例推移の適用と計算
比例推移の式に数値を代入
\[\frac{r_2 + R}{0.1917} = \frac{r_2}{0.03}\]
倍率 n = R/r₂ を求める
\[1 + n = \frac{0.1917}{0.03} = 6.39\]
\[n = \frac{R}{r_2} = 6.39 – 1 = 5.39 \approx \mathbf{5.4}\]
∴ 挿入抵抗 R は二次抵抗 r₂ の約 5.4 倍 → 選択肢(3) 正解
スライド8：解答まとめ
| 設問 | 解答 | 選択肢番号 |
|---|---|---|
| (a) 一次電流 | 27 A | (3) |
| (b) 挿入抵抗の倍率 | 5.4 倍 | (3) |
解法のポイント
- (a) 三相電力の公式 \(P = \sqrt{3}VI\cos\theta\) を変形し、効率 \(\eta\) と力率 \(\cos\theta\) を分母に含めて計算する
- (b) まず同期速度 \(N_0\) から滑り \(s\) を正確に求める。比例推移の条件「負荷トルク一定」を確認する
スライド9：誘導電動機の等価回路（参考）
誘導電動機の動作は変圧器に類似しており、一相分の等価回路で解析できます。特に重要なのが、二次側の抵抗が \(r_2/s\) と表される点です。
二次回路の電力収支
- 二次銅損 = \(s \times P_{gap}\)（エアギャップ電力）
- 機械出力 = \((1-s) \times P_{gap}\)
- 滑りが小さいほど効率が高い
スライド10：比例推移の図解と実用的意義
| 用途 | 内容 |
|---|---|
| 始動トルクの改善 | 大きな始動トルクを得るために外部抵抗を挿入 |
| 速度制御 | 外部抵抗を変化させて回転速度を調整 |
| 始動電流の抑制 | 始動時の過大電流を制限 |
外部抵抗を挿入すると、最大トルクの大きさは変わらず、最大トルク発生点が低速側にシフトします。ただし、抵抗で熱（二次銅損）が発生するため、効率が低下するというデメリットもあります。また、巻線形誘導電動機でのみ適用可能です。
スライド11：試験対策ポイント
| テーマ | 重要公式 |
|---|---|
| 同期速度 | \[N_0 = \frac{120f}{p}\] |
| 滑り | \[s = \frac{N_0 – N}{N_0}\] |
| 一次電流 | \[I_1 = \frac{P_{out}}{\sqrt{3} \cdot V \cdot \eta \cdot \cos\theta}\] |
| 比例推移 | \[\frac{r_2+R}{s} = \frac{r_2}{s_n}\]（トルク一定） |
| 効率 | \[\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}}\] |
スライド12：まとめ
お疲れ様でした！今回は平成29年度 問15を通して、三相誘導電動機の計算問題の解き方を解説しました。
- 効率と力率の両方を考慮した一次電流の計算は、電験3種の頻出パターン
- 比例推移は巻線形誘導電動機の速度制御・始動特性を理解する上で不可欠な概念
- 滑りの計算は「同期速度を先に求める」という手順を確立することが重要
正解：(a) → (3) 27A (b) → (3) 5.4倍
この記事が、あなたの合格の助けになれば幸いです。引き続き過去問を解いて、実力を磨いていきましょう！
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