電験3種・機械科目で出題される「誘導電動機」。特に電圧変動やトルクに関する問題は、計算が複雑そうに見えて敬遠されがちです。
しかし、**「定トルク」**という言葉の意味さえ掴めば、実は非常にシンプルな比例関係で解くことができます。
今回は、平成30年度 問3 を題材に、誘導機の二次電流と滑りの関係を、スライドに沿って初心者の方にもわかりやすく解説します。
スライド1：三相かご形誘導電動機の電圧変動と二次電流の関係
今回のテーマは、誘導電動機（モーター）の電圧が下がってしまったときの挙動です。
電圧が下がると、電流はどうなるでしょうか？「電圧が下がるなら電流も下がるんじゃない？」と思うかもしれませんが、実は逆なんです。このパラドックスを解き明かしましょう。
スライド2：問題文と選択肢の確認
まずは問題設定を確認します。
問題の概要
- 三相かご形誘導電動機が**「定トルク負荷」**で運転中。
- 最初は滑り 3.0% で運転していた。
- 電源電圧が低下し、滑りが 6.0% になって安定した。
- 負荷トルクは変わっていない。
- このとき、二次電流は元の何倍になったか？
選択肢は (1) 0.50 倍から (5) 2.00 倍まであります。
スライド3：攻略のロードマップ
この問題を解くための道筋は以下の通りです。
- 現状把握: 「定トルク負荷」とは何かを理解する。
- メカニズム: 二次入力（同期ワット）とトルクの関係式を整理する。
- 解析: トルク一定条件での、二次電流 $I_2$ と滑り $s$ の関係式を作る。
- 計算: 具体的な数字（3% → 6%）を代入して答えを出す。
スライド4：問題文に隠された3つのヒント
問題文には重要なキーワードが散りばめられています。
- Keyword 1「定トルク負荷」:電圧や回転数が変わっても、機械が必要とする回転力（トルク $T$）は変わらないという意味です。つまり $T_1 = T_2$ です。
- Keyword 2「電源電圧が低下」:電圧が下がって力が足りなくなり、回転数が落ちて（＝滑りが増えて）バランスした状態です。滑りは 3% $\rightarrow$ 6% に増加しました。
- Keyword 3「電源周波数は一定」:回転磁界の速度（同期速度 $\omega_s$）は変わっていません。
スライド5：思考の軸となる「L形等価回路」
誘導機の計算でよく使われる「L形等価回路」を思い出してください。
ここで重要なのは、右端にある可変抵抗 $\frac{r’_2}{s}$ です。
回転子へ供給される電力（二次入力 $P_2$）は、この抵抗で消費される電力として定義されます。
$$P_2 = 3 \times \frac{r’_2}{s} \times (I’_2)^2$$
スライド6：トルクと二次入力（同期ワット）の関係
誘導機のトルク $T$ は、二次入力 $P_2$ と同期角速度 $\omega_s$ を使って次のように表せます。
$$T = \frac{P_2}{\omega_s}$$
ここで、周波数が一定なので $\omega_s$ も一定です。
つまり、「トルク $T$ は 二次入力 $P_2$ に比例する」 ということになります。
さらに言えば、「定トルク負荷」＝「二次入力 $P_2$ が一定」 ということです。
スライド7：導出：トルク・滑り・電流の「黄金則」
先ほどの式を組み合わせると、非常に重要な関係式が導かれます。
$$T \propto P_2 \propto \frac{(I’_2)^2}{s}$$
定数部分を無視すると、トルク $T$ は $\frac{I_2^2}{s}$ に比例する ということです。
これがこの問題を解くための「黄金則」です。
スライド8：定トルク条件式の立式
「負荷トルクは変わらない（$T_1 = T_2$）」という条件を、先ほどの黄金則に当てはめます。
- 状態1（定格時）: 電流 $I_{21}$, 滑り $s_1 (0.03)$
- 状態2（電圧低下後）: 電流 $I_{22}$, 滑り $s_2 (0.06)$
$$\frac{I_{21}^2}{s_1} = \frac{I_{22}^2}{s_2}$$
スライド9：電流変化率の計算プロセス
この式を、「電流が何倍になったか（$\frac{I_{22}}{I_{21}}$）」の形に変形します。
$$\frac{I_{22}^2}{I_{21}^2} = \frac{s_2}{s_1}$$
両辺のルート（平方根）をとります。
$$\frac{I_{22}}{I_{21}} = \sqrt{\frac{s_2}{s_1}}$$
つまり、電流の変化倍率は、滑りの変化倍率の「ルート」になるのです。
スライド10：最終計算と解答
数値を代入して計算します。
$$\frac{I_{22}}{I_{21}} = \sqrt{\frac{0.06}{0.03}} = \sqrt{2}$$
$\sqrt{2}$ は「ひとよひとよに…」でおなじみの 約 1.41 です。
よって、正解は (4) 1.41 となります。
スライド11：なぜ電流は増えたのか？（物理的考察）
電圧が下がったのに、なぜ電流は増えたのでしょうか？
- 電圧低下 ($V \downarrow$): パワーが出なくなる。
- 減速: トルク不足で回転数が落ちる（滑り $s \uparrow$）。
- 誘導起電力増加: 滑りが増えると、回転子が磁束を切る速さが上がり、誘導起電力が増える。
- 電流増加 ($I_2 \uparrow$): その結果、電流が増えてトルクを回復させる。
つまり、電圧不足を「電流」で補って、必死に仕事を続けている状態なのです。
スライド12：実務上のリスク：二次銅損の増大
計算上は「1.41倍」ですが、実務ではこれは危険な状態です。
二次銅損（発熱）は $P_{c2} = s \times P_2$ で計算されます。
定トルク（$P_2$ 一定）で滑り $s$ が2倍になったということは、発熱も2倍になっています。
電流増加と相まって、モーターが焼損するリスクが非常に高くなります。
スライド13：本日のまとめ
- 同期ワット: 周波数・トルクが一定なら、二次入力 $P_2$ も一定。
- トルクの公式: $T \propto \frac{I_2^2}{s}$ を常にイメージする。
- 計算のショートカット: 定トルク負荷なら、電流倍率は $\sqrt{\text{滑り倍率}}$ で求まる。
- 注意点: 電圧が下がっても、定トルク負荷なら電流は増える（過負荷に注意）。
スライド14：おわりに
誘導機の計算問題は、等価回路と比例関係を制する者が制します。
公式をただ覚えるのではなく、「エネルギーの流れ」や「なぜ電流が増えるのか」といった現象をイメージして定着させましょう。
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