「三相三巻線変圧器の問題、どこから手をつければいいかわからない…」「無効電力の計算で毎回ミスしてしまう」——そんな悩みを持つ電験3種受験者の方に向けて、令和2年度 機械科目 問題9を3ステップで丁寧に解説します。
この記事では、問題文の条件整理から公式の確認、段階的な計算手順、よくある誤りまでを解説スライドとともに紹介します。最後まで読めば、三相三巻線変圧器の一次電流を求める考え方が身につきます。
問題文：電験3種、機械科目、令和2年度 問題9
問題文を確認しましょう。
【問題】
一次線間電圧が 66 kV，二次線間電圧が 6.6 kV，三次線間電圧が 3.3 kV の三相三巻線変圧器がある．一次巻線には線間電圧 66 kV の三相交流電源が接続されている．二次巻線に力率 0.8，8 000 kV·A の三相誘導性負荷を接続し，三次巻線に 4 800 kV·A の三相コンデンサを接続した．一次電流の値 [A] として，最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ．ただし，変圧器の漏れインピーダンス，励磁電流及び損失は無視できるほど小さいものとする．(1) 42.0 (2) 56.0 (3) 70.0 (4) 700.0 (5) 840.0
条件を整理しよう
まず問題文から与えられた条件と求めるものを整理します。
| 項目 | 値 |
|---|---|
| 一次線間電圧 V₁ | 66 kV |
| 二次線間電圧 V₂ | 6.6 kV |
| 三次線間電圧 V₃ | 3.3 kV |
| 二次負荷（誘導性） | 8 000 kV·A、力率 0.8（遅れ） |
| 三次負荷（コンデンサ） | 4 800 kV·A（進み） |
| 漏れインピーダンス・励磁電流・損失 | 無視 |
求めるもの：一次電流 I₁ [A]
三相三巻線変圧器とは、一次・二次・三次の3つの巻線を持つ変圧器です。損失を無視するとき、一次側から供給される電力は二次側と三次側の負荷電力の合計に等しくなります。この電力保存則が解法の根拠となります。
使う公式の確認
この問題で使う公式は3つです。
公式1：三相皮相電力・有効電力・無効電力
\[S = \sqrt{3} \times V_L \times I_L \quad [\text{kV·A}]\] \[P = S \times \cos\theta \quad [\text{kW}]\] \[Q = S \times \sin\theta \quad [\text{kvar}]\]公式2：力率と無効電力の関係
力率 \(\cos\theta = 0.8\)（遅れ）のとき、三平方の定理より \(\sin\theta = 0.6\) となります。符号の扱いに注意が必要で、遅れ無効電力（誘導性）は正（+）、進み無効電力（容量性）は負（−）として扱います。
公式3：一次電流の計算
\[I_1 = \frac{P_{\text{合計}}}{\sqrt{3} \times V_1 \times \cos\theta_{\text{合計}}}\]損失を無視するとき、一次側から供給される有効電力は二次・三次の負荷の有効電力の合計に等しくなります。同様に無効電力も合計が成立します。
解法：3ステップで一次電流を求める
ステップ1：二次側の有効電力・無効電力を計算する
二次巻線には皮相電力 \(S_2 = 8\,000\) kV·A、力率 \(\cos\theta = 0.8\)（遅れ）の三相誘導性負荷が接続されています。
\[P_2 = S_2 \times \cos\theta = 8\,000 \times 0.8 = 6\,400 \quad [\text{kW}]\] \[Q_2 = S_2 \times \sin\theta = 8\,000 \times 0.6 = 4\,800 \quad [\text{kvar（遅れ）}]\]ポイントは \(\sin\theta\) の値です。\(\cos\theta = 0.8\) のとき、\(\sin\theta = \sqrt{1 – 0.8^2} = \sqrt{0.36} = 0.6\) となります。誘導性（遅れ）負荷なので、\(Q_2\) は遅れ無効電力です。
ステップ2：三次側の無効電力を計算し、全無効電力の相殺を確認する
三次巻線には 4 800 kV·A の三相コンデンサが接続されています。コンデンサは容量性（進み）負荷ですので、無効電力は進み無効電力となります。
\[Q_3 = 4\,800 \quad [\text{kvar（進み）}]\]一次側から見た全無効電力を求めます。遅れを正（+）、進みを負（−）として合計すると：
\[Q_{\text{合計}} = Q_2 – Q_3 = 4\,800 – 4\,800 = 0 \quad [\text{kvar}]\]これがこの問題の最大のポイントです。二次側の遅れ無効電力 4 800 kvar と三次側の進み無効電力 4 800 kvar がちょうど相殺されて、一次側から見た全無効電力はゼロになります。全無効電力がゼロということは、一次側の力率が \(\cos\theta_1 = 1\) になることを意味します。
ステップ3：一次電流を計算する
損失を無視するとき、一次側から供給される有効電力は二次側の有効電力と等しくなります（三次側のコンデンサは有効電力を消費しません）。
\[P_1 = P_2 = 6\,400 \quad [\text{kW}]\] \[Q_1 = 0 \quad [\text{kvar}] \quad \Rightarrow \quad \cos\theta_1 = 1\]一次電流の公式に代入します。単位に注意して、\(P_1\) [kW] と \(V_1\) [kV] を使うと単位が揃います。
\[I_1 = \frac{P_1}{\sqrt{3} \times V_1 \times \cos\theta_1} = \frac{6\,400 \times 10^3}{\sqrt{3} \times 66 \times 10^3 \times 1} = \frac{6\,400}{\sqrt{3} \times 66} \approx \frac{6\,400}{114.3} \approx 56.0 \quad [\text{A}]\]よって、一次電流は約 56.0 A となり、正答は (2) 56.0 です。
解答まとめ：計算の流れを振り返る
計算の流れを整理すると次のようになります。
| ステップ | 内容 | 結果 |
|---|---|---|
| ステップ1 | 二次側の有効電力・無効電力を計算 | P₂ = 6 400 kW、Q₂ = 4 800 kvar（遅れ） |
| ステップ2 | 三次側の無効電力と全無効電力の相殺 | Q₃ = 4 800 kvar（進み）、Q合計 = 0 kvar |
| ステップ3 | 一次電流の計算 | I₁ ≒ 56.0 A → 正答 (2) |
ここに注意！よくある間違い
誤り1：sin θ の値を間違える
\(\cos\theta = 0.8\) のとき \(\sin\theta = 0.6\) です。これは \(\sin\theta = \sqrt{1 – \cos^2\theta} = \sqrt{1 – 0.64} = 0.6\) から求まります。また、誘導性（遅れ）と容量性（進み）の符号を混同しないよう注意しましょう。
誤り2：無効電力の相殺を見落とす
この問題の最大のひっかけポイントです。二次側の遅れ無効電力 4 800 kvar と三次側の進み無効電力 4 800 kvar がちょうど相殺されることに気づかないと、\(\cos\theta_1 \neq 1\) として誤った計算をしてしまいます。無効電力の相殺を見落とすと、選択肢 (1) 42.0 A や (3) 70.0 A のような誤答につながります。
誤り3：一次電流の計算に誤った電圧を使う
一次電流を求めるには一次線間電圧 V₁ = 66 kV を使います。誤って二次電圧 6.6 kV を使うと、\(I_1 = 6\,400 / (\sqrt{3} \times 6.6) \approx 560\) A となり、選択肢 (4) 700.0 A 付近の誤答につながります。電圧の選択ミスは典型的な誤りパターンです。
試験で使える！重要ポイントまとめ
ポイント1：三相三巻線変圧器の基本構造
三相三巻線変圧器は一次・二次・三次の3つの巻線を持つ変圧器です。損失を無視するとき、電力保存則により一次側から供給される電力（有効電力・無効電力それぞれ）は二次側と三次側の負荷電力の合計に等しくなります。
ポイント2：有効電力と無効電力の分離
皮相電力 S [kV·A] から有効電力 \(P = S\cos\theta\) [kW] と無効電力 \(Q = S\sin\theta\) [kvar] を分離して計算します。遅れ（誘導性）と進み（容量性）は符号が逆になることを常に意識しましょう。
ポイント3：コンデンサによる力率改善の原理
コンデンサ（進み無効電力）を接続することで、誘導性負荷の遅れ無効電力を補償できます。無効電力が相殺されると力率が 1 に近づき、同じ有効電力を供給するのに必要な電流が最小化されます。この原理は電力系統の力率改善でも広く利用されています。
ポイント4：三相電力の公式
\[P = \sqrt{3} \times V_L \times I_L \times \cos\theta\]この公式を変形すると \(I_L = P / (\sqrt{3} \times V_L \times \cos\theta)\) となり、一次電流を求めることができます。
補足：三相三巻線変圧器の等価回路
理想変圧器（漏れインピーダンス・励磁電流を無視）の場合、一次・二次・三次の電圧比は巻数比に等しくなります。
\[\frac{V_1}{V_2} = \frac{N_1}{N_2} = \frac{66}{6.6} = 10 \quad \text{（一次・二次の巻数比）}\] \[\frac{V_1}{V_3} = \frac{N_1}{N_3} = \frac{66}{3.3} = 20 \quad \text{（一次・三次の巻数比）}\]電力保存則（損失無視）は有効電力・無効電力それぞれで成立します。
\[P_1 = P_2 + P_3, \quad Q_1 = Q_2 + Q_3\]今回の問題では \(P_3 = 0\)（コンデンサは有効電力を消費しない）なので \(P_1 = P_2 = 6\,400\) kW となり、また \(Q_1 = Q_2 + Q_3 = 4\,800 – 4\,800 = 0\) kvar となります。
まとめ
電験3種・機械科目・令和2年度・問題9「三相三巻線変圧器の一次電流」の解法を振り返ります。
- 二次側の有効電力は \(P_2 = 8\,000 \times 0.8 = 6\,400\) kW、無効電力は \(Q_2 = 8\,000 \times 0.6 = 4\,800\) kvar（遅れ）
- 三次側のコンデンサの無効電力は \(Q_3 = 4\,800\) kvar（進み）で、二次側の遅れ無効電力と完全に相殺される
- 一次側の全無効電力 = 0 → 一次側の力率 \(\cos\theta_1 = 1\)
- 一次電流 \(I_1 = 6\,400 / (\sqrt{3} \times 66) \approx 56.0\) A
- 正答：(2) 56.0
三相三巻線変圧器の問題では、無効電力の相殺（力率改善）が解法のカギになります。コンデンサによる進み無効電力が誘導性負荷の遅れ無効電力を補償するという原理は、電力系統の力率改善でも頻出のテーマです。ぜひ次の問題にも挑戦してみてください。
よくある質問（FAQ）
Q1. コンデンサの皮相電力 4 800 kV·A はすべて無効電力になるのですか？
はい、理想的なコンデンサは有効電力を消費しません。したがって皮相電力 = 無効電力となり、\(Q_3 = 4\,800\) kvar（進み）となります。力率は 0（純容量性）です。
Q2. 選択肢 (4) 700.0 A になるのはどんな間違いをした場合ですか？
一次電圧 66 kV の代わりに二次電圧 6.6 kV を使って計算した場合に近い値になります。\(6\,400 / (\sqrt{3} \times 6.6) \approx 560\) A となり、さらに単位変換を誤ると 700 A 付近の値が出ます。一次電流を求めるときは必ず一次電圧を使うことを確認しましょう。
Q3. 無効電力が相殺されなかった場合（例：三次側が 3 000 kV·A のコンデンサだった場合）はどう計算しますか？
その場合は全無効電力 \(Q_1 = 4\,800 – 3\,000 = 1\,800\) kvar（遅れ）が残ります。一次側の皮相電力は \(S_1 = \sqrt{P_1^2 + Q_1^2}\) で求め、一次電流は \(I_1 = S_1 / (\sqrt{3} \times V_1)\) で計算します。
Q4. 三相三巻線変圧器は電験3種の試験でよく出題されますか？
変圧器は機械科目の頻出テーマです。三巻線変圧器の問題は、電力の分配・無効電力の補償・等価回路など多角的な理解が問われます。今回の令和2年度 問題9のような「力率改善による無効電力の相殺」は特に重要なパターンですので、繰り返し練習しておくことをおすすめします。
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